Dziedzina funkcji

Dziedzina funkcji to wszystkie dopuszczalne wartości, które możemy podstawić do funkcji f(x) za argument x tak, żeby funkcja miała sens.

Czym jest dziedzina funkcji

Prostym przykładem może być funkcja f(x) = 1/x. Dziedzina to zbiór wszystkich dopuszczalnych wartości, po których podstawieniu do funkcji 1/x otrzymamy poprawne wyrażenie.

Żeby wiedzieć, co to jest „poprawne wyrażenie”, musimy znać własności funkcji i działań. W naszej funkcji dzielimy przez zmienną x, zmienna x jest w mianowniku ułamka. Przez jakie wartości możemy dzielić? Przez wszystkie oprócz zera. Przez zero dzielić nie umiemy, tak samo zero nie może być w mianowniku ułamka. Innych ograniczeń dzielenie nie ma.

Dlatego za x możemy podstawić dowolną liczbę rzeczywistą oprócz zera. Dziedzina jest więc równa: D(f) = ℝ ∖ {0}. Dziedzinę zwykle oznaczamy literą D, a w nawiasie zapisujemy funkcję, której dziedzinę wyznaczamy.

W tej chwili wyznaczyliśmy największą możliwą dziedzinę. Ale ponieważ zdefiniowaliśmy dziedzinę jako zbiór wartości, które możemy podstawić za x, to każdy podzbiór dziedziny też będzie dziedziną. Czasem przydaje się ograniczyć funkcję tylko do niektórych x. Na przykład w ciągach ograniczamy się tylko do liczb naturalnych, w trygonometrii często liczy się tylko na przedziale <0, 2π>.

Jeśli jednak w zadaniu masz wyznaczyć dziedzinę funkcji, zwykle zakłada się, że chodzi o największą możliwą dziedzinę.

Dziedzinę możemy odczytać także z wykresu funkcji. Weźmy na przykład wykres poprzedniej funkcji f(x) = 1/x.

Jeśli zrzutujesz wykres na oś x, otrzymasz dziedzinę. Jeśli punkt x nie należy do dziedziny, to prosta prostopadła do osi x poprowadzona przez ten punkt nie przetnie wykresu w żadnym punkcie. Widzimy, że ten warunek spełnia tylko zero — „nad sobą ani pod sobą” nie ma żadnego punktu wykresu funkcji. Wszystkie pozostałe liczby mają.

Wyznaczanie dziedziny

Żeby wyznaczyć dziedzinę jakiejś funkcji złożonej, musisz znać dziedziny wszystkich funkcji, z których ta funkcja złożona się składa. Inaczej się nie da. Gdybym kazał ci wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x) = jeden(x) + dwa(x), nic byś nie wskórał, bo nie wiesz, jak są zdefiniowane funkcje jeden i dwa. Pokażemy dziedziny niektórych funkcji elementarnych:

• Logarytm ma D(f) = (0, ∞).
• Pierwiastek ma D(f) = <0, ∞).
• Tangens ma D(f) = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• Cotangens ma D(f) = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• Funkcja wykładnicza ma D(f) = ℝ.
• Funkcja liniowa i funkcja kwadratowa mają D(f) = ℝ.

Jeśli masz daną tylko jedną funkcję, sprawa jest bardzo prosta. Po prostu sprawdzamy, jaką dziedzinę ma ta funkcja, patrzymy na argument i potem już tylko odpowiednio podstawiamy do równania lub nierówności. Przykład — wyznacz dziedzinę funkcji $\log (3x + 2)$. Argument logarytmu musi być dodatni, więc musi zachodzić 3x + 2 > 0. To nierówność liniowa, którą łatwo rozwiążemy:

$$\begin{eqnarray} 3x + 2 &>& 0\\ 3x&>&-2\\ x&>&-\frac23 \end{eqnarray}$$

Dziedziną są wszystkie x, które spełniają tę nierówność, więc D(f) = (−2/3, ∞).

Wyznacz dziedzinę $\sqrt{2x + 8}$.

Pod pierwiastkiem nie może być liczba ujemna, więc rozwiązujemy nierówność 2x + 8 ≥ 0 i otrzymujemy wynik:

$$\begin{eqnarray} 2x+8 &\ge& 0\\ 2x&\ge&-8\\ x&\ge&-4 \end{eqnarray}$$

Zatem D(f) = <−4, ∞).

Wyznacz dziedzinę 1/x².

W mianowniku nie może być zero, więc rozwiązujemy x² ≠ 0. To zachodzi wtedy, gdy x ≠ 0, więc D(f) = ℝ ∖ {0}.

Rozkład funkcji złożonej

Przy funkcjach złożonych sytuacja jest już nieco bardziej skomplikowana, bo musimy brać pod uwagę więcej funkcji, które wzajemnie na siebie wpływają i stopniowo zawężają dziedzinę. Weźmy taki przykład:

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Tutaj muszą być spełnione dwa warunki. Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe lub równe zeru, nie może być ujemne. Stąd x ≥ 0. Ale pierwiastek znajduje się w mianowniku ułamka, więc pierwiastek nie może być równy zeru, bo wtedy ułamek nie miałby sensu. Poprzedni warunek zaostrzamy więc do x > 0.

Podobnie postąpimy w kolejnych przykładach. Ważne jest jednak ustalenie kolejności zagnieżdżonych funkcji –- musimy sprawdzić, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna. W poprzednim przykładzie było to oczywiste -– funkcją wewnętrzną był pierwiastek, a zewnętrzną ułamek. Gdybyśmy chcieli obliczyć to wyrażenie ręcznie, najpierw obliczylibyśmy pierwiastek z argumentu x, a dopiero potem ułamek. To całkiem dobra wskazówka -– najbardziej wewnętrzna funkcja to ta, od której zacząłbyś liczyć, gdybyś liczył ręcznie. Kolejny przykład:

$$f(x) = \sqrt[5]{(\ln(\mbox{tan}(x)))^3}$$

Możemy teraz podejść do tego odwrotnie. Będziemy szukać funkcji zewnętrznych. Funkcja zewnętrzna „obejmuje” funkcje wewnętrzne. Tutaj od razu widać, że pierwiastek piątego stopnia obejmuje wszystkie pozostałe funkcje. Dalej trzecia potęga obejmuje wynik logarytmu, logarytm obejmuje tangens i wreszcie zmienną x obejmuje tangens. Proste. Wcześniejszą metodą możemy to ująć tak: gdy znamy wartość x, najpierw obliczamy z niej tangens. To jest więc najbardziej wewnętrzna funkcja. Z tego wyniku obliczamy logarytm -– to jest więc druga najbardziej wewnętrzna funkcja. Ten wynik z kolei podnosimy do potęgi i na koniec wyciągamy pierwiastek.

Rozłóż funkcję złożoną:

$$f(x) = \sin \frac{42}{\ln(10^{2x+3})}$$

Zaczynamy od funkcji zewnętrznej. Jest nią sinus. Dalej w kolejności jest ułamek, potem logarytm, potem funkcja wykładnicza (wyobraź sobie takie podstawienie: 10^a) i na końcu funkcja liniowa 2x + 3.

Rozłóż funkcję złożoną:

$$\Large f(x) = 2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Funkcją zewnętrzną jest funkcja wykładnicza 2^a. Dalej jest ułamek, potem w mianowniku ułamka pierwiastek i na końcu funkcja liniowa 3x.

Dziedzina funkcji złożonej

Jeśli umiesz rozkładać funkcje na zewnętrzne i wewnętrzne, wyznaczenie dziedziny nie będzie już dla ciebie żadnym problemem. Pokażemy to od razu na przykładzie:

$$f(x) = \frac{47}{\sin(x)-1}$$

Zaczniemy od ułamka. Jego mianownik musi być różny od zera. Zapiszmy to:

$$\begin{eqnarray} \sin(x)-1 &\ne& 0\\ \sin(x) &\ne&+1 \end{eqnarray}$$

Z własności funkcji sinus wiemy, że wartość 1 osiąga w punkcie x = π/2. Ponieważ jest to funkcja okresowa, otrzymujemy zbiór M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. To jest zbiór wartości, dla których mianownik wychodzi równy zeru. Tych x nie możemy podstawić do naszej funkcji.

To jednak nie wszystko, musimy jeszcze spojrzeć na dziedzinę funkcji sinus. Na szczęście jest ona równa ℝ, więc nas w niczym nie ogranicza. Ograniczenie wynika tylko z mianownika ułamka. Zatem D(f) = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.