Funkcja parzysta i nieparzysta

W przypadku funkcji możemy badać ich parzystość, czyli ustalić, czy funkcja jest parzysta, czy nieparzysta. W skrajnym przypadku funkcja może być jednocześnie parzysta i nieparzysta, ale zwykle nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Parzystość

Funkcja jest parzysta, jeśli spełnia prostą regułę — gdy podstawimy do niej argument x, a potem argument przeciwny −x, funkcja musi zwrócić tę samą wartość. Typowym przykładem funkcji parzystej jest funkcja f(x) = x². Jeśli obliczymy jej wartość dla argumentów 6 i −6, otrzymamy: f(6) = 36 oraz f(−6) = 36. Argumenty różniły się tylko znakiem, więc wynik jest taki sam.

Formalna definicja mogłaby wyglądać tak. Jeśli funkcja f jest parzysta, to musi spełniać warunek

$$\forall x\in D(f): f(x)=f(-x)$$

Dla wszystkich x z dziedziny funkcji musi zachodzić, że nawet gdy podstawimy do funkcji argument przeciwny, czyli −x, wartości funkcji muszą być równe.

Jak funkcja parzysta wygląda na wykresie? Jeśli podstawimy do funkcji x i −x, otrzymamy to samo y. Zastanówmy się więc: punkty x i −x leżą na osi x w tej samej odległości od początku układu i mają tę samą współrzędną y. Oznacza to, że wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y. Dla ilustracji wykres funkcji x²:

Spośród znanych funkcji parzyste są: cosinus oraz funkcje postaci f(x) = x^a, gdzie a jest liczbą parzystą. Z funkcji, która pierwotnie była nieparzysta, funkcję parzystą zrobi wartość bezwzględna, na przykład f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Funkcja nieparzysta

Funkcja nieparzysta musi spełniać podobną regułę jak funkcja parzysta. Funkcja f jest nieparzysta, jeśli spełnia następujący warunek:

$$\forall x\in D(f): f(-x)=-f(x)$$

W praktyce oznacza to, że jeśli do wykresu funkcji nieparzystej należy punkt (a, b), to musi do niego należeć również punkt o przeciwnych współrzędnych, czyli (−a, −b). Przykładem funkcji nieparzystej jest funkcja f(x) = x³. Jeśli za x podstawimy dwójkę, otrzymamy:

$$f(-x)=f(-2)=(-2)^3=-8$$

W drugim wyrażeniu otrzymalibyśmy

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Jak to wygląda na wykresie? Do funkcji ma należeć punkt (a, b) i jednocześnie punkt (−a, −b). Jeśli to sobie narysujesz, okaże się, że taki wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli punktu (0, 0). Wykres funkcji f(x) = x³ przedstawia poniższy rysunek.

Spośród znanych funkcji nieparzyste są: f(x) = x^a, gdzie a jest liczbą nieparzystą, oraz f(x) = ax, gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą (chodzi więc o funkcję liniową bez wyrazu wolnego). Dalej także f(x) = a/x albo sinus.

Sprawdzanie parzystości

Jak sprawdzić, czy funkcja jest parzysta? Musimy skorzystać z definicji. Weźmy na przykład dobrze znaną funkcję f(x) = x² i sprawdźmy ją z definicji. Ta mówi, że f(x) = f(−x). Jeśli funkcja jest parzysta, musi spełniać:

$$x^2=(-x)^2$$

Minus x do kwadratu możemy zgodnie z zasadami działań na potęgach rozpisać tak:

$$x^2=(-1)^2\cdot x^2$$

Minus jeden do kwadratu to jeden, więc z powrotem otrzymujemy samo x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

Czy następująca funkcja jest parzysta?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Podstawiamy do definicji:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Te ułamki możemy przekształcić tak, że zamiast wartości bezwzględnej z całego ułamka weźmiemy wartość bezwzględną osobno z licznika i z mianownika.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Przekształcamy mianownik drugiego ułamka, bo z definicji wartości bezwzględnej na pewno zachodzi |x| = |−x|.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Teraz otrzymujemy już równość.

Sprawdzanie nieparzystości

Jak sprawdzić, czy funkcja jest nieparzysta? Znowu musimy skorzystać z definicji. Ta mówi, że funkcja f jest nieparzysta, jeśli

$$f(-x)=-f(x)$$

Zacznijmy od funkcji f(x) = x³. Podstawiamy do definicji:

$$(-x)^3=-x^3$$

Lewą stronę możemy rozpisać tak samo jak w poprzednim przykładzie:

$$(-1)^3\cdot x^3=-x^3$$

Minus jeden do potęgi trzeciej to minus jeden:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Mamy więc równość:

$$-x^3=-x^3$$

Funkcja jest nieparzysta.

Czy dana funkcja jest nieparzysta?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Podstawiamy do definicji:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Nie ma tu wiele do przekształcania, minus z pierwszego ułamka po prostu wyciągamy przed cały ułamek i otrzymujemy równość:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Funkcja jest nieparzysta.

Ani parzysta, ani nieparzysta

Funkcja nie musi być ani parzysta, ani nieparzysta. Takich funkcji jest chyba najwięcej. Przykładem niech będzie funkcja liniowa f(x) = x + 1. Spróbujmy podstawić ją do definicji parzystości:

$$x+1=-x+1$$

Wyznaczamy x:

$$\begin{eqnarray} x+1&=&-x+1\\ 2x+1&=&1\\ 2x&=&0 \end{eqnarray}$$

Równość nie zachodzi dla wszystkich x, tylko dla niektórych, więc funkcja nie jest parzysta. Teraz nieparzystość:

$$\begin{eqnarray} -x+1&=&-(x+1)\\ -x+1&=&-x-1\\ 0x&=&-2 \end{eqnarray}$$

To równanie nie ma żadnego rozwiązania, dlatego funkcja nie jest nieparzysta.

Jednocześnie parzysta i nieparzysta

Czy istnieje funkcja, która byłaby jednocześnie parzysta i nieparzysta? Czy istnieje wykres funkcji, który byłby symetryczny względem osi y i jednocześnie względem początku układu? Odpowiedź brzmi: tak. Istnieje dokładnie jedna funkcja, która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta, i jest to funkcja stała f(x) = 0. Jej wykres pokrywa się dokładnie z osią x.

Uwaga: w rzeczywistości takich funkcji jest nieskończenie wiele, bo możemy zdefiniować funkcję g(x), która będzie miała ten sam wzór, ale będzie określona na innej dziedzinie. Możemy mieć na przykład funkcję g(x) = 0, której dziedziną będą tylko liczby naturalne. Ta funkcja różni się od funkcji f(x) określonej na liczbach rzeczywistych. Wzór będzie jednak zawsze taki sam.

Działania na funkcjach

Ciekawa sytuacja pojawia się, gdy mamy dwie funkcje, które są parzyste lub nieparzyste, i spróbujemy je dodać, pomnożyć itp. Na przykład suma dwóch funkcji parzystych jest znowu funkcją parzystą. Reguł i kombinacji jest wiele.