Potęgi i pierwiastki

Potęgowanie to działanie matematyczne, które, mówiąc najprościej, służy do skróconego zapisu wielokrotnego mnożenia.

Wykładnik naturalny

Potęga ma postać aⁿ, gdzie wyrażenie n nazywamy wykładnikiem, a wyrażenie a podstawą. Dalej będzie nas interesować przede wszystkim to, jaki jest wykładnik. W tej części pokażemy sobie, jakie własności ma potęga o wykładniku naturalnym, czyli gdy wykładnik jest jedną z liczb 1, 2, 3, 4, …

Przykładem takiej potęgi jest 6². Szóstka jest podstawą, dwójka wykładnikiem. Wykładnik mówi nam, ile szóstek mamy ze sobą pomnożyć, żeby otrzymać wynik. Zatem 6² = 6 · 6 = 36. Inny przykład: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Ogólnie moglibyśmy zapisać to tak:

$$a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\mbox{ razy}}$$

Podstawą może być cokolwiek – liczba, ale równie dobrze bardziej złożone wyrażenie. Podczas obliczeń po prostu mnożysz dane wyrażenie tyle razy, ile wskazuje wykładnik. Przykłady:

$$\begin{eqnarray} (-5)^3&=&(-5)\cdot(-5)\cdot(-5)\\ x^4&=&x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3)^2&=&(x+3)\cdot(x+3) \end{eqnarray}$$

Dla wykładnika równego zero przyjmujemy, że a⁰ = 1.

Wykładnik ujemny

W tej części założymy, że wykładnik jest ujemny. Jak można by to rozumieć? Wyjdźmy od tego, że a⁰ = 1. Jeśli chcemy obliczyć a¹, moglibyśmy powiedzieć, że mnożymy a⁰ przez a. Ponieważ a⁰ = 1, otrzymujemy iloczyn a⁰ · a = a. Wychodzi a. Jeśli zechcemy obliczyć a², możemy napisać a² = a⁰ · a · a.

O wartości a⁰ = 1 możemy powiedzieć, że to nasza wartość początkowa, a gdy obliczamy aⁿ, po prostu n razy mnożymy wartość a⁰ przez a. Co zrobić, gdyby n było ujemne? Jeśli n jest dodatnie, mnożymy. Jeśli n jest ujemne, będziemy dzielić. Zatem a⁻¹ otrzymalibyśmy tak, że wzięlibyśmy wartość początkową a⁰ i podzielili ją przez a. Dostajemy w ten sposób równanie:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac1a$$

Gdybyśmy chcieli poznać a⁻², podzielilibyśmy a⁰ przez a dwa razy. Co byśmy otrzymali? Najpierw powiedzmy sobie, jak inaczej można zapisać dzielenie. Jeśli mamy iloraz x/y, możemy go równie dobrze zapisać jako

$$x\cdot\frac1y$$

To jedna z podstawowych własności ułamków. Jeśli więc chcemy jakieś wyrażenie x dwa razy podzielić przez wyrażenie y, możemy to zapisać jako

$$x\cdot\frac1y\cdot\frac1y$$

Wróćmy do przykładu a⁻². Powiedzieliśmy, że otrzymamy je, dzieląc wyrażenie a⁰ dwa razy przez a. Przekształcamy to dalej tak:

$$a^{-2}=a^0\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac1a=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Teraz mamy już sposób na obliczenie potęgi o wykładniku ujemnym. Obliczamy potęgę tak, jakby wykładnik był dodatni, a potem tylko odwracamy wynik, czyli dzielimy jedynkę przez wynik potęgowania. Dokładniej zapisane:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Zakładamy tu, że −n jest liczbą ujemną, czyli n jest dodatnie.)

Kilka przykładów:

$$\begin{eqnarray} 2^{-1}&=&\frac{1}{2^1}=\frac12\\ 5^{-3}&=&\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3)^{-8}&=&\frac{1}{(2x+3)^8} \end{eqnarray}$$

Wykładnik wymierny

Wykładnik możemy dalej rozszerzyć na wszystkie liczby wymierne. Liczba wymierna to taka liczba, którą da się zapisać w postaci ułamka, czyli ilorazu dwóch liczb całkowitych. Weźmy więc ułamek postaci m/n, gdzie n jest liczbą dodatnią. Wtedy możemy zapisać wzór

$$\Large a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Ten zawijas nad a^m to znak pierwiastka.

Własności potęg

• a⁰ = 1, jeśli a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, jeśli n > 0.
• 0⁰ nie jest określone.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\Large \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, jeśli a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.