Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza to taka funkcja, która ma zmienną w wykładniku.

Definicja

Funkcja wykładnicza f ma postać

$$f(x)=a^x,\quad a\in\mathbb{R},\quad a>0,\quad a\ne1$$

Symbol a to dowolna liczba, a nie jakieś bardziej skomplikowane wyrażenie; nazywamy ją podstawą. Wyrażenie x nazywamy wykładnikiem. Podstawą może więc być na przykład liczba całkowita 3, liczba wymierna $\frac12$ albo stała π.

Dlaczego nakładamy warunki na podstawę a? Gdyby a było równe jeden, dostalibyśmy funkcję stałą, bo „jeden do dowolnej potęgi” to zawsze jeden. Zachodzi 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. A ponieważ funkcji stałej nie zaliczamy do funkcji wykładniczych, a musi być różne od jedynki, czyli a≠1. Z tego samego powodu musi zachodzić a≠0.

A dlaczego musi zachodzić a>0? Bo sama potęga jest określona tylko dla liczb dodatnich. Gdybyśmy na przykład za x wybrali jedną drugą, to obliczanie $a^{\frac12}$ jest tym samym co obliczanie pierwiastka z liczby a. A pierwiastek możemy wyciągnąć tylko z liczby nieujemnej.

Jeśli spełnimy powyższe warunki, dziedziną funkcji wykładniczej f(x) = a^x są liczby rzeczywiste.

Funkcja kwadratowa a funkcja wykładnicza

Funkcję wykładniczą łatwo pomylić z funkcją kwadratową. Funkcja kwadratowa ma zmienną w podstawie, a w wykładniku liczbę, natomiast funkcja wykładnicza ma w podstawie liczbę, a w wykładniku zmienną. Funkcjami kwadratowymi są więc na przykład te funkcje: x², x² + 4 albo x² − x + 1. Funkcjami wykładniczymi są funkcje: 2^x, 4^x albo π^x.

Ważne funkcje wykładnicze

Szczególnie ważną funkcją wykładniczą jest „naturalna funkcja wykładnicza”. To funkcja, której podstawą jest stała e, czyli liczba e (liczba Eulera). Liczba Eulera jest liczbą niewymierną, czyli liczbą o nieskończonym i nieokresowym rozwinięciu dziesiętnym; nie da się jej dokładnie wypisać. Jej przybliżona wartość to e = 2,718 281 828… Tę funkcję często oznacza się jako $\exp$.

Kolejną ważną funkcją wykładniczą jest „dziesiętna funkcja wykładnicza”, której podstawa jest równa dziesięć: a = 10.

Kształt funkcji w zależności od wartości a

Funkcja ma dwa podstawowe kształty, zależnie od tego, jaka jest wartość podstawy. Rozróżniamy bowiem dwa przedziały: (0,1) i (1, ∞). Jeśli a należy do pierwszego przedziału, czyli jest mniejsze od jedynki, funkcja jest malejąca. Jeśli należy do drugiego przedziału, jest rosnąca. Ma to oczywiście swoją logikę. Weźmy na przykład $a=\frac12$, czyli funkcję $f(x)=\frac12^x$. Co się stanie, jeśli za x podstawimy kolejno dwójkę, trójkę i czwórkę? Wartość funkcji będzie stopniowo maleć, otrzymamy bowiem: $f(2)=\frac12^2 = \frac12 \cdot \frac12=\frac14$, dalej $f(3)=\frac12^3= \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12$, co jest równe $\frac18$. Dla f(4) dostaniemy połowę jednej ósmej, czyli $\frac{1}{16}$. Dostajemy coraz mniejsze liczby, bo podstawa jest mniejsza od jedynki. Jeśli mnożymy liczby mniejsze od jedynki, zawsze dostaniemy liczbę mniejszą.

Odwrotnie, jeśli a>1, wynikiem mnożenia będzie liczba większa. Jeśli mamy funkcję wykładniczą f(x) = 3^x, dla wartości dwa, trzy, cztery dostajemy wyniki: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Dla trójki: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Dalej f(4) = 81. Funkcja jest więc rosnąca. Zauważ, że nawet gdyby podstawą była jakakolwiek inna liczba większa od jedynki, funkcja i tak byłaby rosnąca.

Dlatego musimy też rozróżniać dwa rodzaje wykresów w zależności od wartości podstawy a.

Wykresy funkcji wykładniczych

Z poprzedniej części wiemy, że wykres musi mieć dwa podstawowe kształty w zależności od wartości podstawy a. Najpierw pokażemy wykres dla wartości a z przedziału (0, 1).

Widzimy, że funkcja jest malejąca i przechodzi przez punkt (0, 1). To nie przypadek — z własności potęg wiemy, że cokolwiek do potęgi zerowej daje jeden. Czyli $\frac12^0=1, 5^0=1, 33^0=1$ itd. Dlatego każda krzywa funkcji wykładniczej musi przechodzić przez ten punkt. Także krzywa, która odpowiada funkcji wykładniczej dla a>1, co widać na następnym rysunku:

Własności funkcji wykładniczych

• Dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych
• Zbiorem wartości jest przedział (0, ∞)
• Jest ograniczona z dołu, a^x>0. Z góry jest nieograniczona.
• Nie ma ani maksimum, ani minimum.

Monotoniczność funkcji zależy od wartości a. Jeśli a należy do przedziału (0, 1), funkcja jest malejąca. Jeśli należy do przedziału (1, ∞), jest rosnąca.

Wzrost wykładniczy

Określenia „wzrost wykładniczy” używa się dość często także w mowie potocznej. Zwykle chce się przez to powiedzieć, że coś rośnie strasznie szybko. Klasycznym przykładem może być podział bakterii, jaki znamy z serialu „Było sobie życie”. Co jakiś czas pojawiała się tam zła bakteria, która zaczynała się mnożyć w ten sposób, że za każdym razem dzieliła się na dwie. Taki sposób mnożenia możemy opisać funkcją wykładniczą f(x) = 2^x. Wartość funkcji będzie nam podawać liczbę bakterii po x rundach podziału.

Przykład: na początku (zero podziałów, x = 0) mamy jedną bakterię, czyli 2⁰ = 1. Po pierwszej rundzie mnożenia mamy 2¹ = 2, czyli dwie bakterie. Zgadza się, jedna bakteria dzieli się na dwie. Teraz każda z tych dwóch bakterii się dzieli, więc mamy 2² = 4, cztery bakterie. Znowu każda się dzieli, więc po trzeciej rundzie mamy już 2³ = 8 bakterii. I tak dalej.

To mnożenie, choć na to nie wygląda, jest strasznie szybkie. Ile bakterii mamy po dziesiątej rundzie? 2¹⁰ = 1024. To już niezła liczba. Po dwudziestu rundach mamy: 2²⁰ = 1 048 576. Po trzydziestu rundach przekraczamy już miliard.

To tempo jest dużo większe niż w przypadku zwykłej funkcji kwadratowej. Gdybyśmy porównali tempo wzrostu funkcji wykładniczej f(x) = 2^x i funkcji kwadratowej g(x) = x², funkcja wykładnicza zdecydowanie wygra. Znamy już wartość funkcji f w punkcie x = 20, a wartość funkcji kwadratowej g w punkcie x = 20 wynosi: g(20) = 20² = 400. To wielokrotnie mniej niż 1 048 576.