Funkcja liniowa

Funkcja liniowa to każda funkcja określona wzorem y = ax + b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Szczególny przypadek funkcji liniowej mamy wtedy, gdy a = 0, bo poprzedni zapis możemy wtedy skrócić do postaci y = b, a to jest funkcja stała (niektóre źródła nie zaliczają funkcji stałej do funkcji liniowych).

Rodzaje funkcji liniowych

Funkcje liniowe mają całkiem ładne wykresy, bo wykresem funkcji liniowej jest zawsze prosta. Na przykład wspomniana już funkcja stała ma wykres w postaci prostej równoległej do osi x, która przecina oś y w punkcie b. Jeśli b = 0, prosta zawsze przechodzi przez początek układu współrzędnych (0, 0). Taką funkcję nazywa się też proporcjonalnością prostą.

Pozostałe własności funkcji liniowej zależą od tego, ile wynosi a. Jeśli a > 0, jest to wykres funkcji rosnącej, ale gdy a < 0, funkcja jest malejąca. Wykresy funkcji y = ax i y = −ax są symetryczne względem osi y.

Własności funkcji liniowych

Dziedziną funkcji liniowych jest zbiór liczb rzeczywistych i tak samo jest ze zbiorem wartości. Funkcja jest malejąca albo rosnąca w zależności od współczynnika kierunkowego a. Jest to funkcja różnowartościowa, bo nie znajdziemy prostej poziomej, która przecinałaby wykres funkcji liniowej w więcej niż jednym punkcie (nie dotyczy to funkcji stałej). Nie jest też okresowa, jest ciągła na całej swojej dziedzinie i nie ma ani maksimum, ani minimum. Funkcja liniowa nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, tylko w przypadku, gdy b = 0, jest funkcją nieparzystą.

Przykład

Narysuj wykres funkcji y = −3x +1.

Wykres tej funkcji narysujemy łatwo. Wiemy, że wykresem każdej funkcji liniowej jest prosta (teoretycznie może to być też odcinek, jeśli masz narysować wykres funkcji liniowej tylko na pewnym przedziale). To nam w zupełności wystarczy. Żeby narysować prostą, wystarczy znać współrzędne zaledwie dwóch punktów. Obliczmy je. Najpierw podstawmy za x najprostszą liczbę, czyli zero. Wyjdzie nam f(0) = 1. Pierwszym punktem, przez który przechodzi prosta, jest więc (0, 1). Jako drugi punkt możemy podstawić na przykład jedynkę. Dostaniemy coś takiego: f(1) = −3 + 1 = −2. Drugi punkt ma współrzędne (1, −2). Teraz mamy już dwa potrzebne punkty, żeby narysować wykres tej funkcji: