Własności funkcji

Funkcja to przyporządkowanie, które każdej liczbie x z dziedziny M przyporządkowuje dokładnie jedną wartość y ze zbioru wartości N. Funkcję zwykle zapisujemy w postaci y = f(x) albo możemy ją wyrazić jawnie f:y = x, gdzie zmienna x jest argumentem funkcji.

Dziedzina i zbiór wartości

Dla każdej funkcji musimy też określić jej dziedzinę, czyli zbiór wszystkich dopuszczalnych wartości argumentu x, a więc wszystkich wartości, jakie może przyjmować zmienna x. Dziedzinę funkcji f oznaczamy D(f).

Prosty przykład: dla f:y = x dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych D(f) = ℝ. Inny przykład: dla $f:y = \frac{1}{x}$ dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, ale tym razem bez zera, bo przez zero dzielić nie można, wyrażenie nie miałoby wtedy sensu: D(f) = ℝ ∖ {0}.

Zbiór wartości to analogicznie zbiór wszystkich możliwych y, czyli zbiór wszystkich elementów, na które może wskazywać funkcja f. Znowu prosty przykład: weźmy funkcję f:y = x. Tutaj zbiorem wartości jest zbiór ℝ, bo y może przyjąć dowolną wartość z tego zbioru. Weźmy jednak inną funkcję f:y = |x| (wartość bezwzględna). Tu zbiorem wartości będzie już przedział <0, +∞), bo nigdy nie może się zdarzyć, żeby y było równe na przykład minus pięć – z definicji wartości bezwzględnej to niemożliwe.

Jeśli trzymać się pojęcia odwzorowania ze zbioru A w zbiór B, to wiedz, że zbiór A jest dziedziną, a zbiór B nazywa się przeciwdziedziną; zbiór wartości jest jego podzbiorem.

Monotoniczność funkcji

Monotoniczność funkcji to własność, która mówi, czy funkcja jest na danym przedziale rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca, stała, czy nie ma żadnej z tych własności.

Najłatwiej odczytać tę własność z wykresu: jeśli masz wrażenie, że wykres opada, jest to funkcja malejąca, a jeśli się wznosi, jest to funkcja rosnąca. Proste, prawda? :-) Definicje wyglądałyby tak: mamy funkcję f i niech x₁, x₂ ∈ D(f). Wtedy mówimy, że

• funkcja f jest rosnąca, jeśli z x₁ < x₂ wynika f(x₁) < f(x₂).
• funkcja f jest malejąca, jeśli z x₁ < x₂ wynika f(x₁) > f(x₂). (Definicja wygląda tak samo, tylko przy wartościach funkcji jest w pierwszym przypadku <, a w drugim >)

Przyjrzyj się wykresowi funkcji rosnącej f(x) = ln(x):

Widzimy, że gdy wybierzemy takie x₁, x₂, żeby zachodziło x₁ < x₂, to zachodzi też f(x₁) < f(x₂). Teraz przyjrzyj się kolejnemu wykresowi, tym razem funkcji $f(x)=\frac{1}{x}$, która jest malejąca na przykład na przedziale (0, ∞):

Tutaj widzimy, że gdy x₁ < x₂, to dla ich wartości funkcji zachodzi odwrotnie f(x₁) > f(x₂). Chociaż x₁ jest mniejsze niż x₂, „daje” większą wartość funkcji.

Podajmy jeszcze pozostałe definicje:

• Funkcja f jest niemalejąca, jeśli z x₁ < x₂ wynika f(x₁) ≤ f(x₂). (Definicja jest podobna jak dla funkcji rosnącej, tylko dopuszczamy, żeby funkcja na pewnym odcinku miała stałą wartość)
• Funkcja f jest nierosnąca, jeśli z x₁ < x₂ wynika f(x₁) ≥ f(x₂).
• Funkcja f jest stała, jeśli jej zbiorem wartości jest zbiór jednoelementowy, czyli jeśli dla dowolnych dwóch x₁, x₂ zachodzi f(x₁) = f(x₂).

Przykładem funkcji nierosnącej jest funkcja f(x) = |x|−x:

Zauważ, że na przedziale (−∞, 0) funkcja maleje, ale na pozostałym przedziale ma stałą wartość (zero). Na całej dziedzinie jest to więc funkcja nierosnąca.

Funkcja parzysta i nieparzysta

Niektóre funkcje mogą być pod pewnymi warunkami parzyste albo nieparzyste. Najprościej jest znać wykres funkcji, po nim poznasz to najszybciej. Funkcja parzysta jest bowiem symetryczna względem osi y, a funkcja nieparzysta jest symetryczna względem początku układu współrzędnych (0, 0). Przykładem funkcji parzystej może być y = x², a funkcją nieparzystą jest na przykład funkcja y = 2x. Definicje wyglądałyby tak – funkcja f jest

• parzysta, jeśli dla wszystkich x ∈ D(f) zachodzi f(x) = f(−x),
• nieparzysta, jeśli dla wszystkich x ∈ D(f) zachodzi −f(x) = f(−x).

Funkcjom parzystym i nieparzystym poświęcony jest osobny artykuł Funkcja parzysta i nieparzysta.

Funkcja różnowartościowa

Funkcję różnowartościową poznamy po tym, że wszystkie jej wartości są różne, żadna wartość funkcji się nie powtarza. Definicja:

Funkcja f jest różnowartościowa, jeśli dla wszystkich x₁, x₂ ∈ D(f) zachodzi

$$ x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2) $$

Jeśli wybierzemy dwa różne x z dziedziny funkcji, to ich wartości funkcji muszą być zawsze różne.

Na wykresie da się to poznać jak zwykle całkiem prosto. Jeśli poprowadzisz przez wykres prostą równoległą do osi x, musi ona przecinać wykres najwyżej w jednym punkcie. Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja liniowa y = 3x. Jakąkolwiek prostą poziomą weźmiesz, zawsze przetnie wykres dokładnie w jednym punkcie. Przeciwieństwem jest na przykład funkcja sinus, której wykres tworzy swego rodzaju fale, więc jeśli poprowadzisz prostą równoległą do osi x przecinającą oś y w punkcie $\frac12$, znajdziesz nieskończenie wiele punktów przecięcia z wykresem, a zatem nie jest to funkcja różnowartościowa.

Funkcja ograniczona

Funkcje mogą być ograniczone, i to ograniczone z góry, ograniczone z dołu albo zarówno z góry, jak i z dołu – taką funkcję nazywamy po prostu funkcją ograniczoną. Funkcja f jest ograniczona z góry, jeśli znajdziemy taką liczbę rzeczywistą A, która jest większa od wszystkich wartości funkcji f. Podobnie jest z funkcją ograniczoną z dołu. Definicje są więc takie:

• Funkcja f jest ograniczona z góry, jeśli istnieje A ∈ ℝ takie, że dla wszystkich x ∈ D(f) zachodzi A > f(x).
• Funkcja f jest ograniczona z dołu, jeśli istnieje A ∈ ℝ takie, że dla wszystkich x ∈ D(f) zachodzi A < f(x).

Na wykresie możemy to sobie wyobrazić tak, że szukamy prostej równoległej do osi x (czyli prostej poziomej), która leży nad całym wykresem funkcji albo pod nim.

Na rysunku mamy wykres funkcji f(x) = x⁴, która jest ograniczona z dołu. Zauważ, że wcale nie musimy znaleźć takiego A, które jest „najbliżej” wykresu, wystarczy umieścić prostą gdziekolwiek pod wykresem.

Minimum i maksimum

Funkcja f ma w punkcie M dziedziny maksimum, jeśli w tym punkcie M przyjmuje największą ze wszystkich swoich wartości. Podobnie jest z minimum. Definicja:

• Funkcja f ma w punkcie M ∈ D(f) maksimum globalne, jeśli dla wszystkich x ∈ D(f) zachodzi f(x) ≤ f(M) – krótko mówiąc, wartość funkcji jest największa w punkcie M (to jest wartość największa funkcji). Jeśli funkcja przyjmuje tę największą wartość tylko w jednym punkcie, mówimy o maksimum właściwym.
• Funkcja f ma w punkcie m ∈ D(f) minimum globalne, jeśli dla wszystkich x ∈ D(f) zachodzi f(x) ≥ f(m) – wartość funkcji jest najmniejsza w punkcie m (to jest wartość najmniejsza funkcji).

Na wykresie maksimum i minimum funkcji znajdziesz pewnie dość łatwo, po prostu patrzysz, gdzie funkcja jest najniżej, a gdzie najwyżej. Funkcja oczywiście wcale nie musi mieć ani minimum, ani maksimum, może też mieć tylko minimum albo tylko maksimum, a może też mieć tylko ekstrema lokalne i na całej dziedzinie nie mieć żadnego ekstremum.

Jeśli potrzebujesz znaleźć minima i maksima, użyj pochodnych, dokładny sposób postępowania opisuje artykuł badanie przebiegu zmienności funkcji.

Przykład

Określ własności funkcji na podstawie poniższego wykresu:

• Dziedziną tej funkcji jest przedział <−4, 4>.
• Zbiorem wartości jest przedział <−2, 4>.
• Funkcja wprawdzie wygląda tak, jakby mogła być rosnąca, ale na odcinku <0, 2> ma stałą wartość, więc rosnąca być nie może. Na żadnym przedziale jednak nie maleje, dlatego jest to funkcja niemalejąca.
• Wykres funkcji nie jest symetryczny ani względem osi y, ani względem początku układu współrzędnych, więc funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
• Czy funkcja jest różnowartościowa? Już powiedzieliśmy, że na odcinku <0, 2> funkcja ma stałą wartość, więc różnowartościowa być nie może. Dla różnych x ma to samo y.
• Funkcja jest ograniczona, i to zarówno z góry, jak i z dołu. Potrafimy znaleźć prostą poziomą, która będzie nad całym wykresem, i taką, która będzie pod całym wykresem.
• Dana funkcja ma też minimum i maksimum. Najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w punkcie m = −4, a największą w punkcie M = 4.