Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna to funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej.

Czym jest logarytm

Funkcję logarytmiczną zapisujemy symbolem $\log$, a jeśli chodzi o logarytm naturalny (o nim za chwilę), oznaczamy go ln. Podstawowy wzór funkcji logarytmicznej wygląda tak:

$$y=\log_ax$$

Ten zapis czytamy: „logarytm liczby x przy podstawie a”. Ta funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej f(x) = a^x. Wartość funkcji logarytmicznej nazywamy logarytmem.

Ponieważ funkcja logarytmiczna jest odwrotna do wykładniczej, musi zachodzić następująca równoważność:

$$\Large y=\log_ax\quad\Leftrightarrow\quad a^y=x$$

Czyli jeśli a^y jest równe x, to logarytm z x przy podstawie a jest równy y. Spróbujmy pokazać to na kilku przykładach. Weźmy funkcję wykładniczą f(x) = 2^x. Jak wyglądałaby funkcja do niej odwrotna (logarytmiczna)? Tak: $f^{-1}(x)=\log_2x$. Jeśli do funkcji wykładniczej podstawimy trójkę, otrzymamy: f(3) = 2³ = 8.

Jaka zależność musi teraz zachodzić? Jeśli do funkcji odwrotnej f⁻¹ wstawimy ósemkę, funkcja logarytmiczna musi nam zwrócić trójkę. Liczba 3 była przecież argumentem funkcji wykładniczej, a liczba 8 wynikiem. Funkcja odwrotna działa na odwrót: na wejściu dostaje liczbę 8, a na wyjściu daje liczbę 3. Na razie możesz sprawdzić na przykład w Google, że tak jest naprawdę (w kalkulatorze Google lg oznacza logarytm przy podstawie dwa, choć w polskiej szkole lg to zwykle logarytm dziesiętny).

Jeśli więc napiszemy 2³ = 8, to funkcja odwrotna, czyli logarytmiczna, daje nam zależność: $\log_28=3$. Czym zatem jest logarytm? Logarytm to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać argument x.

Ważne funkcje logarytmiczne

Niektóre funkcje logarytmiczne są szczególnie ważne. Chodzi przede wszystkim o „logarytm naturalny”, którego podstawą jest liczba e (liczba Eulera). Oznaczamy ją literą e. Jest to liczba niewymierna, czyli liczba o nieskończonym i nieokresowym rozwinięciu dziesiętnym. Jej przybliżona wartość to: e = 2,718 281 828…. Logarytm naturalny zapisujemy albo jako $\log_ex$, albo prościej jako ln x. Litera „n” pochodzi z łacińskiego „logarithmus naturalis”, a do zapamiętania wystarczy polski: „naturalny” też zaczyna się na „n”.

Kolejnym ważnym logarytmem jest „logarytm dziesiętny”, czyli funkcja logarytmiczna o podstawie dziesięć. Zwykle zapisujemy go jako $\log_{10}x$ albo po prostu $\log x$. Jeśli przy logarytmie nie podano podstawy, przyjmuje się podstawę 10.

Własności funkcji logarytmicznej

Jak już wiemy, funkcja logarytmiczna jest odwrotna do wykładniczej. Dlatego przejmuje też niektóre jej własności i ograniczenia. Wiemy, że funkcja wykładnicza ma postać f(x) = a^x, gdzie a jest liczbą rzeczywistą większą od zera i różną od jedynki. Dlatego również podstawa logarytmu a musi być większa od zera i różna od jedynki. Zapiszmy więc jeszcze raz funkcję logarytmiczną:

$$y=\log_ax,\quad a\in\mathbb{R},\quad a>0,\quad a\ne1$$

Ponieważ jest to funkcja odwrotna, znamy już także jej dziedzinę i zbiór wartości. Dziedzina funkcji logarytmicznej jest taka sama jak zbiór wartości funkcji wykładniczej, więc dziedziną funkcji logarytmicznej jest przedział (0, ∞). Zbiór wartości logarytmu jest z kolei taki sam jak dziedzina funkcji wykładniczej, czyli jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Wykresy funkcji logarytmicznych

Podobnie jak przy funkcji wykładniczej musimy rozróżnić dwa przypadki: gdy podstawa a należy do przedziału (0, 1) i gdy należy do przedziału (1, ∞). W pierwszym przypadku, czyli gdy a należy do przedziału (0, 1), wykres wygląda tak:

Gdy podstawa a należy do przedziału (1, ∞), wykres wygląda tak:

Obejrzyj jeszcze funkcję wykładniczą i odwrotną do niej funkcję logarytmiczną na jednym wykresie (na niebiesko logarytm, na czerwono funkcja wykładnicza):

Dlaczego wykresy przechodzą przez punkt (1, 0)

Oba wykresy przecinają oś x w punkcie x = 1. Tak ma być, bo każda funkcja wykładnicza przechodzi przez punkt (0, 1). Ponieważ logarytm jest funkcją odwrotną, musi zawsze przechodzić przez punkt (1, 0). Ma to swoją logikę. Jeśli wykres przechodzi przez punkt (1, 0), oznacza to, że dla argumentu x = 1 funkcja przyjmuje wartość f(x) = 0.

W przypadku logarytmów oznacza to, że szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść podstawę, żeby dostać jedynkę. Jaki to wykładnik? Tylko zero. Cokolwiek do potęgi zerowej daje jeden, więc bez względu na podstawę funkcja logarytmiczna będzie przechodzić przez punkt (1, 0), bo cokolwiek do potęgi zerowej daje jeden. (Uwaga: pamiętaj, że podstawa nie może być zupełnie dowolna: a>0 i a≠1.)

Twierdzenia o logarytmach (wzory)

Oto kilka ważnych zależności i wzorów dotyczących logarytmów:

Załóżmy, że a naprawdę może być podstawą logarytmu, czyli a>0, a≠1. Niech dalej x₁ i x₂ będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Wtedy zachodzi:

$$\begin{eqnarray} \log_a(x_1\cdot x_2)&=&\log_a x_1+\log_a x_2\\ \log_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)&=&\log_a x_1 - \log_a x_2\\ \log_a x^r&=&r\cdot\log_ax\quad\forall r\in\mathbb{R}\\ \log_a\sqrt[n]{x}&=&\frac{1}{n}\log_ax\quad\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$$

Kilka zależności, które wynikają wprost z definicji logarytmu:

$$\begin{eqnarray} \log_a1&=&0\quad(a^0=1)\\ \log_aa&=&1\quad(a^1=a)\\ a^{\log_a x} &=& \log_a{a^x} = x \end{eqnarray}$$

Jak wyrazić dowolny logarytm za pomocą logarytmu naturalnego

Czasem się zdarza, że na przykład na kalkulatorze nie mamy logarytmu o dowolnej podstawie, tylko naturalny i dziesiętny. Co zrobić, gdy musisz obliczyć logarytm przy innej podstawie? Jest wzór, który ci pomoże. Zachodzi bowiem:

$$\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}$$

Jeśli za b weźmiemy liczbę Eulera, otrzymamy wzór:

$$\log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}$$

W pierwszej części musieliśmy obliczyć logarytm z liczby 8 przy podstawie 2. Za pomocą logarytmu naturalnego możemy to obliczyć tak:

$$\log_28=\frac{\ln8}{\ln2}=3$$

Obliczenie możemy znów sprawdzić w Google. Nie musisz jednak używać logarytmu naturalnego, równie dobrze możesz użyć dziesiętnego, wzór na to pozwala. Tak samo więc zachodzi:

$$\log_28=\frac{\log8}{\log2}=3$$

(Pamiętaj, że jeśli nie podano podstawy, przyjmuje się podstawę a = 10.) Znowu sprawdzenie w Google.