Mnożenie liczb ujemnych

Liczby ujemne mogą być trochę nieintuicyjne, zwłaszcza gdy chodzi o ich mnożenie.

Jak wyobrazić sobie liczby ujemne

W codziennym życiu z liczbami ujemnymi nie spotykamy się zbyt często. Mało kto powie: „Babciu, patrz – tam na górce jest minus osiem krów!” Tym trudniej wytłumaczyć mnożenie liczb ujemnych.

Jest jednak co najmniej jedna sytuacja, w której liczby ujemne są dla wszystkich jasne: domowy budżet, czyli jego przychody i wydatki. Gdy zajrzysz na przykład na swoje konto w banku, zobaczysz tam pozycje takie jak:

• +6500 zł: wypłata
• −412 zł: zakupy w hipermarkecie
• −230 zł: zapas gum do żucia na cały rok
• +600 zł: rządowy dodatek na dobry humor
• −2500 zł: czynsz

Jeśli dostajesz jakieś pieniądze, przy kwocie jest znak plus, a jeśli jakieś pieniądze wydajesz, jest tam znak minus – bo te wydane pieniądze odejmujesz od stanu konta.

Liczby ujemne możemy więc sobie wyobrazić jako jakiś wydatek. Jeśli przybyło nam tysiąc złotych, zapiszemy to jako +1000, a jeśli wydaliśmy pięć tysięcy, zapiszemy to jako −5000. Nie muszą to być tylko pieniądze: jeśli weźmiemy z koszyka sześć gum do żucia, możemy to oznaczyć jako −6.

Mnożenie liczby ujemnej przez dodatnią

Jaki będzie więc wynik mnożenia 7 · (−20)? W gruncie rzeczy chodzi o to, jaki znak będzie miał wynik. Raczej jest jasne, że wynik to albo 140, albo −140. Jak uzasadnić, który jest poprawny?

Wyobraźmy sobie, że jedna duża paczka gum do żucia kosztuje 20 zł, a my kupujemy 7 takich paczek. Pytamy, ile pieniędzy wydaliśmy w sumie na tych siedem paczek. To jasne, wydaliśmy 7 · 20 = 140 zł.

Ale ponieważ to pieniądze, które naprawdę wydaliśmy, a nie dostaliśmy, dodajemy znak minus. Gdybyśmy zostawili wynik 140, oznaczałoby to, że to nasz przychód, a to jest przecież nasz wydatek: dlatego wynik to 7 · (−20) = −140.

Możemy to znowu zamienić na dodawanie: wyobraźmy sobie, że kupiliśmy tylko dwie paczki gum. Każda kosztowała dwadzieścia złotych, więc w naszych rachunkach byłoby

• −20 zł: gumy do żucia
• −20 zł: gumy do żucia

Możemy to zapisać jako 2 · (−20) albo dodać te wydatki: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Wtedy możemy już napisać po prostu:

• −40 zł: dwie paczki gum do żucia

Gdy mnożymy liczbę dodatnią przez ujemną (albo ujemną przez dodatnią, to bez znaczenia), możemy to sobie wyobrazić tak, że liczba ujemna oznacza jakiś wydatek, a liczba dodatnia mówi, ile takich wydatków było. A ponieważ dodajemy wydatki, wynik też musi być ujemny.

Uzasadnienie algebraiczne

To, że iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną, można uzasadnić także algebraicznie. Obliczmy taki przykład: 5 · (4 − 4). Oczywiście wynikiem jest zero, bo 4 − 4 = 0 i 5 · 0 = 0. Jeśli jednak znamy wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i wymnażanie nawiasów, możemy ten przykład zapisać też tak:

$$ 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-4) = 0 $$

Zamieniliśmy wyrażenie na inne, ale równoważne. Lewa strona równania nadal musi być równa zero, bo wyjściowe wyrażenie 5 · (4 − 4) też było równe zero. Teraz obliczamy 5 · 4 = 20:

$$ 20 + 5 \cdot (-4) = 0 $$

Zostało nam już tylko wyrażenie 5 · (−4). Tylko czemu musi być ono równe, żeby równanie pozostało prawdziwe? Jaką liczbę musimy dodać do 20, żeby dostać zero? To liczba −20. Jedynym możliwym wynikiem wyrażenia 5 · (−4) jest więc liczba −20. Znowu widzimy, że iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną.

Iloczyn dwóch liczb ujemnych

Iloczyn dwóch liczb ujemnych daje liczbę dodatnią. Na pierwszy rzut oka może to wyglądać dziwnie, ale da się to całkiem dobrze zrozumieć. Podobnie działa podwójne przeczenie w mowie: w zdaniu „nie będziemy nieuprzejmi” mamy dwa przeczenia, a mimo to zdanie mówi to samo co „będziemy uprzejmi”. (Zakładamy tu jednak, że możemy być tylko uprzejmi albo nieuprzejmi. Teoretycznie moglibyśmy nie być ani jednym, ani drugim.)

Proste uzasadnienie znajdziesz w następnej części, z panem z teczką. Najpierw jeszcze przejrzysta tabelka, która pokazuje, jaki znak ma iloczyn liczb dodatnich i ujemnych:

$$\begin{eqnarray} \mbox{dodatnia} \cdot \mbox{dodatnia} &=& \mbox{dodatnia}\\ \mbox{dodatnia} \cdot \mbox{ujemna} &=& \mbox{ujemna}\\ \mbox{ujemna} \cdot \mbox{dodatnia} &=& \mbox{ujemna}\\ \mbox{ujemna} \cdot \mbox{ujemna} &=& \mbox{dodatnia}\\ \end{eqnarray}$$

Uzasadnienie za pomocą ruchu

Mnożenie z ujemnymi czynnikami można ładnie wyjaśnić za pomocą ruchu. Wyobraźmy sobie, że stoimy w początku osi liczbowej. Mniej więcej tak:

Weźmy teraz iloczyn dwóch liczb, na przykład 2 · 3. Ten iloczyn będziemy pokazywać na osi liczbowej jako ruch pana z teczką. Pierwsza liczba będzie oznaczać długość kroku, a druga liczbę kroków, które pan zrobi, więc możemy to widzieć jako iloczyn $\text{długość kroku} \cdot \text{liczba kroków}$.

Przy tym uwzględnimy także liczby ujemne. Jeśli długość kroku jest dodatnia, pan idzie normalnie do przodu, a jeśli jest ujemna, idzie tyłem. Jeśli liczba kroków jest dodatnia, pan jest zwrócony w prawo (jak na obrazku powyżej), a jeśli jest ujemna, jest zwrócony w lewo.

Liczba, do której pan z teczką dojdzie, jest wynikiem mnożenia tych liczb. Zobaczmy, jak to wyjdzie dla wszystkich kombinacji liczb dodatnich i ujemnych.

Dla iloczynu 2 · 3 pan jest zwrócony w prawo i idzie do przodu. Robi więc trzy kroki do przodu, każdy o długości dwóch kratek.

Pan z teczką dochodzi do liczby 6, więc wynik to 2 · 3 = 6.

Teraz spróbujmy iloczynu −2 · 3. Pierwsza liczba jest ujemna, co oznacza, że tym razem pan pójdzie tyłem. Druga liczba jest jednak dodatnia, więc będzie patrzył w prawo. Pan patrzy więc w prawo i robi trzy kroki tyłem:

Widzimy, że pan z teczką doszedł do liczby −6, co zgadza się z tym, że −2 · 3 = −6.

Dalej spróbujmy 2 · (−3). Pierwsza liczba jest dodatnia, więc pan pójdzie do przodu. Ale druga liczba jest ujemna, więc pan będzie zwrócony w lewo. Pan patrzy w lewo i robi trzy kroki do przodu:

Pan znowu doszedł do liczby −6, co zgadza się z tym, że 2 · (−3) = −6. Widać, że nie ma znaczenia, czy pan jest zwrócony w lewo i idzie do przodu, czy jest zwrócony w prawo i idzie tyłem – w obu przypadkach dojdzie do liczb ujemnych.

Na koniec wyślemy pana, żeby obliczył −2 · (−3), więc obrócimy go w lewo i każemy mu zrobić trzy kroki tyłem:

Pan, może nieco zaskakująco, doszedł do liczby 6. Możemy więc powiedzieć, że −2 · (−3) = 6: iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.