Mnożenie pisemne

Jak pomnożyć dwie liczby tylko za pomocą ołówka i kartki.

Jak mnożyć pisemnie

Zaczniemy od łatwego przykładu, bardziej złożony jest na końcu artykułu. Na początku zakładamy, że mamy dwie liczby, które chcemy pomnożyć. Na razie będziemy pracować tylko z liczbami naturalnymi. Powiedzmy, że chcemy pomnożyć 13 · 72. Zapisujemy te liczby jedną pod drugą i rysujemy pod nimi kreskę:

$$ \begin{array}{cr} &13\\ \cdot&72\\\hline \end{array} $$

Zaczynamy od ostatniej cyfry (cyfry jedności) dolnej liczby i mnożymy przez nią po kolei wszystkie cyfry górnej liczby. Znowu idziemy od prawej, więc najpierw mnożymy 2 · 3 = 6. Wynik piszemy dokładnie pod cyfrą 2. Potem mnożymy cyfrę 2 przez drugą cyfrę od prawej, czyli 2 · 1 = 2. Ten wynik piszemy dokładnie pod 7:

$$ \begin{array}{cr} &13\\ \cdot&72\\\hline &26 \end{array} $$

Przesuwamy się w dolnej liczbie o jedną cyfrę w lewo, do cyfry 7, i robimy to samo. Ponieważ jednak przesunęliśmy się o jeden rząd (siódemka oznacza dziesiątki, a dwójka jedności), musimy się przesunąć o rząd także pod kreską. Na prawo w dole, pod szóstką, piszemy zero. Dalej postępujemy już tak samo.

$$ \begin{array}{cccc} &1&3\\ \cdot&7&2\\\hline &2&6&\\ &&0 \end{array} $$

Mnożymy więc 7 · 3 = 21. Tu pojawia się kłopot – możemy dopisać tylko jedną cyfrę, nie możemy tam wpisać 21, bo to dwie cyfry. Rozwiążemy to tak, że liczbę rozdzielimy na dwie cyfry: prawą, czyli 1, piszemy na kartce, a lewą, czyli 2, zapamiętujemy do następnego kroku. Czyli: 1 piszemy, 2 pamiętamy. Jedynkę piszemy tuż obok zera.

$$ \begin{array}{cccc} &1&3\\ \cdot&7&2\\\hline &2&6&\\ &1&0 \end{array} $$

Następnie mnożymy cyfrę 7 przez cyfrę 1 w górnej liczbie: 7 · 1 = 7. Teraz przychodzi kolej na zapamiętaną cyfrę 2: dodajemy ją do tego wyniku: 7 + 2 = 9. Tę liczbę piszemy na lewo od cyfry 1 w najniższym wierszu:

$$ \begin{array}{cccccc} &&1&3\\ \cdot&&7&2\\\hline &&2&6&\\ &9&1&0 \end{array} $$

Został ostatni krok: dodać liczby pod kreską.

$$ \begin{array}{cccccc} &&2&6&\\ +&9&1&0\\\hline &9&3&6 \end{array} $$

Wychodzi nam liczba 936, czyli właśnie iloczyn 13 · 72.

W polskich podręcznikach tego zera na końcu drugiego wiersza zwykle się nie pisze – drugi wiersz po prostu zaczyna się o jedno miejsce bardziej w lewo, pod dziesiątkami. Wynik jest ten sam. Tutaj zera dopisujemy, bo dobrze pokazują, co się naprawdę dzieje, o czym jest następny rozdział.

Dlaczego to działa

Mnożenie możemy rozłożyć na prostsze iloczyny i sumy w ten sposób: 13 · 72 to to samo co 13 · 2 + 13 · 70. Możesz w tym zobaczyć wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, ale wystarczy zdrowy rozsądek: jeśli dodaję siedemdziesiąt dwa razy liczbę trzynaście, to jest to samo, jakbym dodał siedemdziesiąt razy liczbę trzynaście, a potem dołożył jeszcze dwie trzynastki.

Opisany sposób nie robi nic innego, tylko tworzy te kolejne iloczyny. Zauważ, że pod kreską dostaliśmy liczby 26 i 910. Przy tym 26 = 2 · 13 i 910 = 70 · 13.

Żeby to naprawdę się zgadzało, musieliśmy w drugim wierszu dopisać zero – bo tak naprawdę liczyliśmy 7 · 13. Żeby otrzymać z tego iloczyn 70 · 13, trzeba do wyniku dopisać jeszcze jedno zero.

Trudniejszy przykład

Oblicz: 28 · 617. Najpierw zapisujemy liczby jedną pod drugą (w szkole zwykle pisze się na górze liczbę o większej liczbie cyfr, bo wtedy wychodzi mniej wierszy, ale wynik będzie taki sam):

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline \end{array} $$

W pierwszym kroku liczymy: 7 · 8 = 56. Piszemy 6, 5 pamiętamy.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &&&6 \end{array} $$

Dalej: 7 · 2 = 14, dodajemy zapamiętane 5: 14 + 5 = 19. Piszemy 9, 1 pamiętamy.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &&9&6 \end{array} $$

Ponieważ nie mamy już czego mnożyć, dopisujemy jedynkę:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6 \end{array} $$

Przechodzimy do drugiego wiersza. Dopisujemy zero i mnożymy: 1 · 8 = 8, piszemy 8:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &&8&0 \end{array} $$

Dalej: 1 · 2 = 2, piszemy 2:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0 \end{array} $$

I przechodzimy do trzeciego wiersza. Przesuwamy się o kolejny rząd, więc piszemy o jedno zero więcej niż poprzednio:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ &&0&0 \end{array} $$

I mnożymy: 6 · 8 = 48, 8 piszemy, 4 pamiętamy.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ &8&0&0 \end{array} $$

Dalej: 6 · 2 = 12, dodajemy 4, więc dostajemy 12 + 4 = 16. 6 piszemy, 1 pamiętamy.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ 6&8&0&0 \end{array} $$

Ponieważ nie mamy już czego mnożyć, dopisujemy jedynkę:

$$ \begin{array}{ccccc} &&&2&8\\ \cdot&&6&1&7\\\hline &&1&9&6\\ &&2&8&0\\ 1&6&8&0&0 \end{array} $$

A teraz dodajemy wszystkie trzy liczby pod kreską:

$$ \begin{array}{cccccc} &&&1&9&6\\ &&&2&8&0\\ +&1&6&8&0&0\\\hline &1&7&2&7&6 \end{array} $$