Pole powierzchni walca

Pole powierzchni walca mówi nam, jak duże jest łączne pole powierzchni ograniczających walec. Uwaga, nie myl go z objętością walca, która mówi nam, „ile litrów wody zmieścimy w walcu”. Zobaczmy, jak taki walec wygląda:

Wzór

Jeśli szukasz tylko wzoru: pole powierzchni walca, którego podstawa ma promień r, a wysokość wynosi h, obliczysz jako

$$\Large P=2\cdot\pi\cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r \cdot h$$

Skąd wzięliśmy ten wzór?

Każdy walec ma dwie podstawy: to te dwa koła na górze i na dole. Oprócz tego walec ma powierzchnię boczną, czyli powierzchnię „między” podstawami. Jeśli chcemy obliczyć pole powierzchni walca, musimy obliczyć pola obu podstaw i pole powierzchni bocznej, a potem te wartości dodać. Ponieważ podstawa jest kołem, użyjemy wzoru na pole koła

$$\Large P_\circ=\pi\cdot r^2,$$

gdzie r jest promieniem podstawy. Na rysunku to ten poziomy przerywany odcinek. Jeśli na przykład r = 6, to pole podstawy jest równe

$$\Large P_\circ=\pi\cdot 6^2 = 36\pi$$

Zostaje nam jeszcze obliczyć pole powierzchni bocznej. Możemy zauważyć, że powierzchnia boczna to „zwinięty” prostokąt. Jeden bok prostokąta ma długość równą wysokości h walca, na rysunku to ten pionowy przerywany odcinek. Drugi bok, po „rozwinięciu”, byłby tak długi, jak obwód koła tworzącego podstawę. Najpierw obliczymy więc obwód podstawy, do czego użyjemy wzoru na obwód koła, czyli

$$\Large L = 2\cdot\pi\cdot r$$

Po podstawieniu otrzymamy:

$$\Large L = 2\cdot\pi\cdot 6 = 12 \pi$$

Obwód podstawy wynosi 12π. Pole prostokąta, oznaczmy je $P_\square$, obliczymy po prostu, mnożąc długości obu boków:

$$\Large P_\square = 12\pi \cdot h$$

Gdyby wysokość walca wynosiła na przykład h = 10, otrzymalibyśmy

$$\Large P_\square = 12\pi \cdot 10 = 120\pi$$

Całkowite pole powierzchni walca, oznaczmy je P, otrzymamy, dodając wszystkie wyniki (i nie zapominając, że walec ma dwie podstawy):

$$\Large P=P_\circ+P_\square+P_\circ$$

Czyli po podstawieniu:

$$\Large P=36\pi+120\pi+36\pi=192\pi$$

Jeśli nie podoba ci się wynik ze stałą π, możesz zamiast π podstawić przybliżoną wartość 3,14 i otrzymasz przybliżony wynik

$$\Large P\approx 192\cdot3{,}14=602{,}88$$