Parabola

Parabola to krzywa stożkowa, czyli krzywa, której każdy punkt jest tak samo odległy od danej prostej i od danego punktu, który na tej prostej nie leży.

Jak wygląda parabola

Parabolę wyznacza jeden punkt F i jedna prosta d. Wszystkie punkty X tej paraboli są tak samo odległe od punktu F i od prostej d. Przyjrzyj się rysunkowi:

• Punkt F nazywa się ogniskiem paraboli.
• Prosta d nazywa się kierownicą paraboli.
• Prosta FD nazywa się osią paraboli, jest prostopadła do kierownicy i przechodzi przez ognisko.
• Punkt V nazywa się wierzchołkiem paraboli i leży w środku odcinka FD.
• Długość odcinka FD nazywamy parametrem paraboli. Jest to odległość ogniska od kierownicy.

Zauważ też na rysunku, że rzeczywiście odległość punktu paraboli od prostej i od ogniska jest zawsze taka sama. Na przykład dla wierzchołka V odległość od ogniska |VF| jest taka sama jak odległość od prostej |VD|. Podobnie jest dla zaznaczonego na rysunku punktu X: odległość |XF| jest taka sama jak odległość |XE|.

Parabola jest wykresem funkcji kwadratowej.

Równanie paraboli

Dla paraboli rozróżniamy łącznie cztery przypadki. Najpierw patrzymy, jak jest skierowana oś paraboli, czyli czy jest pionowa (równoległa do osi y), jak na pierwszym rysunku, czy pozioma (równoległa do osi x). Następnie rozróżniamy, czy parabola jest ograniczona z dołu, czy z góry, albo „z lewej”, czy „z prawej”. Niech parabola ma wierzchołek V o współrzędnych (m, n).

• Pierwszy przypadek: Parabola ma oś równoległą do osi y i jest ograniczona z dołu. Opisuje ją takie równanie:

  $$(x-m)^2=2p(y-n)$$

  Ognisko ma współrzędne:

  $$F\left(m, n+\frac{p}{2}\right)$$

• Drugi przypadek: Parabola ma oś równoległą do osi y i jest ograniczona z góry. Opisuje ją takie równanie:

  $$(x-m)^2=-2p(y-n)$$

  Ognisko ma współrzędne:

  $$F\left(m,n-\frac{p}{2}\right)$$

• Trzeci przypadek: Parabola ma oś równoległą do osi x i jest ograniczona „z lewej”. Opisuje ją takie równanie:

  $$(y-n)^2=2p(x-m)$$

  Ognisko ma współrzędne:

  $$F\left(m+\frac{p}{2},n\right)$$

• Czwarty przypadek: Parabola ma oś równoległą do osi x i jest ograniczona „z prawej”. Opisuje ją takie równanie:

  $$(y-n)^2=-2p(x-m)$$

  Ognisko ma współrzędne:

  $$F\left(m-\frac{p}{2},n\right)$$