Twierdzenia o wysokości i przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym

Starożytny matematyk z Aleksandrii Euklides sformułował dwa twierdzenia dotyczące trójkątów, a konkretnie wysokości i przyprostokątnej.

W Czechach nazywa się je po prostu twierdzeniami Euklidesa. W polskiej szkole pod tą nazwą raczej ich nie spotkasz: należą do tak zwanych związków miarowych w trójkącie prostokątnym i zwykle wyprowadza się je z podobieństwa trójkątów. Często formułuje się je też za pomocą średniej geometrycznej: wysokość opuszczona na przeciwprostokątną jest średnią geometryczną odcinków, na które dzieli ona przeciwprostokątną, a przyprostokątna jest średnią geometryczną przeciwprostokątnej i swojego rzutu prostokątnego na przeciwprostokątną.

Twierdzenie o wysokości

To twierdzenie działa tylko w trójkącie prostokątnym. Spójrzmy na podstawową sytuację:

Mamy tu trójkąt ABC, bok c jest przeciwprostokątną, odcinek h_c jest wysokością opuszczoną na bok c. Punkt P_c dzieli bok c na dwa odcinki: odcinek AP_c oznaczymy c_b, a odcinek BP_c oznaczymy c_a.

Twierdzenie o wysokości mówi, że zachodzi związek

$$ h_c^2 = c_a \cdot c_b, $$

gdzie h_c oznacza długość odcinka h_c itd. Innymi słowy: gdybyśmy zbudowali kwadrat o boku h_c i prostokąt o bokach c_a i c_b, to te figury miałyby takie samo pole. Spójrz na następujący rysunek, na którym zaznaczony jest właśnie taki kwadrat i prostokąt:

Twierdzenie o wysokości mówi, że te figury mają takie samo pole. Czerwony kwadrat ma bok długości h_c, zielony prostokąt ma jeden bok długości c_a, a drugi bok długości c_b.

Dowód wynika z podobieństwa trójkątów: wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt prostokątny na dwa mniejsze trójkąty, które są podobne do siebie nawzajem i do całego trójkąta.

Twierdzenie o przyprostokątnej

Także to drugie twierdzenie zachodzi w trójkącie prostokątnym. Zostaniemy przy pierwszym rysunku trójkąta:

Drugie twierdzenie mówi, że

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& c \cdot c_a\\ b^2 &=& c \cdot c_b\\ \end{eqnarray}$$

Jeśli zbudujemy kwadrat o boku a, to ten kwadrat będzie miał takie samo pole jak prostokąt o bokach c i c_a. Kwadrat i prostokąt możesz znowu obejrzeć na rysunku:

Także to twierdzenie wynika z podobieństwa tych samych trójkątów.