Elipsa

Elipsa to krzywa stożkowa. Jej podstawowa własność polega na tym, że każdy punkt elipsy ma taką samą sumę odległości od dwóch danych punktów płaszczyzny. Te punkty nazywamy ogniskami.

Jak wygląda elipsa

Weźmy dwa punkty – E i F, ogniska elipsy e. Wtedy dla każdego punktu X elipsy e musi zachodzić

$$|XE|+|XF|=K,$$

gdzie K jest pewną stałą liczbą. Ta liczba jest więc dla wszystkich punktów elipsy taka sama. Jeśli E = F, dostajemy okrąg, a |XE|+|XF| jest równe średnicy okręgu (czyli |XE| musi być promieniem okręgu). Rysunek elipsy:

Taka sama suma odległości od ognisk oznacza, że suma |EK|+|FK| musi być równa sumie |EL|+|FL|, i tak samo dla wszystkich pozostałych punktów leżących na elipsie.

Opis i własności elipsy

• Elipsa ma dwa ogniska, oznaczmy je E i F.
• Elipsa ma cztery wierzchołki: A i B leżą dalej od środka, C i D bliżej.
• Środek elipsy, na rysunku punkt S, leży w środku odcinka EF, czyli pośrodku między ogniskami.
• Prosta, która przechodzi przez dwa dalsze wierzchołki (a także przez ogniska), nazywa się osią wielką elipsy, a prosta, która przechodzi przez dwa bliższe wierzchołki, nazywa się osią małą elipsy.
• Odcinek, który łączy środek elipsy z jednym z wierzchołków na osi wielkiej, nazywa się półosią wielką. Na rysunku są to odcinki AS i BS.
• Odcinek, który łączy środek elipsy z jednym z wierzchołków na osi małej, nazywa się półosią małą. Na rysunku są to odcinki CS i DS.
• Stała K, czyli suma długości odcinków łączących punkt elipsy z ogniskami, jest równa długości odcinka AB. Dobrze to widać, gdy obliczymy tę sumę dla punktu B. Dla niego suma ma postać |FB|+|EB|. Odcinek EB pokrywa prawie cały odcinek AB, a pozostała część, odcinek AE, jest tak samo długa jak odcinek FB. Dlatego |FB|+|EB| = |AB|.

Mimośród liniowy elipsy

Kolejną ważną stałą elipsy jest mimośród liniowy, oznaczamy go tu e (w polskich podręcznikach zwykle oznacza się go literą c, a literą e – mimośród, czyli stosunek c/a). Jest równy odległości ognisk od środka elipsy, czyli e = |ES| = |FS|. Jak obliczyć mimośród liniowy? Najpierw ustalimy, ile wynoszą odległości |ED| i |FD|.

Wiemy, że suma K jest równa długości |AB|. Z rysunku widać przy tym, że odcinki ED i FD będą tak samo długie, bo prosta CD jest osią elipsy. Długość każdego z nich będzie więc równa połowie długości |AB|, czyli długości półosi wielkiej elipsy. Jeśli długość półosi wielkiej oznaczymy a, a długość półosi małej b, dostaniemy taki rysunek:

Mimośród liniowy możemy teraz wyrazić za pomocą twierdzenia Pitagorasa jako

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Im bardziej elipsa przypomina okrąg, czyli im mniej jest spłaszczona, tym mniejszy ma mimośród liniowy.

Równanie elipsy

Jak wyprowadzimy równanie elipsy? Najpierw potrzebujemy jakiejś ładnej elipsy, więc wybierzemy taką, której oś wielka i oś mała są równoległe do osi x i y, a środek leży w początku układu współrzędnych, czyli ma współrzędne (0, 0). Taka elipsa wygląda na przykład tak:

Pytanie brzmi, jak ogólnie opisać punkt X, który jest na rysunku zaznaczony na niebiesko. Z definicji elipsy wiemy, że musi zachodzić:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Ponieważ długość odcinka AB jest równa podwojonej długości półosi wielkiej a, możemy napisać:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Teraz musimy jakoś wyrazić długości odcinków EX i FX. Zaczniemy od odcinka FX. Dorysujemy na rysunku dwa kolejne odcinki tak, żeby powstał trójkąt prostokątny.

Punkt X ma współrzędne (x, y), więc długość odcinka PX jest równa współrzędnej y punktu X, czyli |PX| = y. Długość PF jest równa |e − x|. Z twierdzenia Pitagorasa musi więc zachodzić:

$$|FX|=\sqrt{|e-x|^2+y^2}=\sqrt{(x-e)^2+y^2}$$

Tak samo jak |FX| wyrazimy też |EX|. Długość PX będzie taka sama, znowu y, a długość PE będzie równa x + e. Dostajemy:

$$|EX|=\sqrt{(x+e)^2+y^2}$$

Te nowe wyrażenia podstawimy do poprzedniego równania:

$$\sqrt{(x+e)^2+y^2}+\sqrt{(x-e)^2+y^2}=2a$$

Potem trzeba by wykonać całą masę przekształceń, aż w końcu doszlibyśmy do ładnej postaci:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

To równanie dotyczy jednak elipsy o środku w początku układu współrzędnych. Żeby otrzymać ogólniejsze równanie, musimy uwzględnić w nim także współrzędne środka elipsy. Elipsa o środku w punkcie (m, n) ma równanie:

Jeśli oś wielka jest równoległa do osi x:

$$\frac{(x-m)^2}{a^2}+\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$$

Jeśli oś wielka jest równoległa do osi y:

$$\frac{(x-m)^2}{b^2}+\frac{(y-n)^2}{a^2}=1$$

Przykład: żeby się przekonać, że równanie naprawdę działa, podstawimy do niego punkt X z rysunku. Dla rysunku mamy a = 5, b = 4 i X = (2,31; 3,55) (współrzędne punktu są zaokrąglone, więc wynik też musimy na końcu zaokrąglić). Po podstawieniu do lewej strony równania otrzymujemy:

$$\frac{2{,}31^2}{5^2}+\frac{3{,}55^2}{4^2}=\frac{5{,}3361}{25}+\frac{12{,}6025}{16}=0{,}213444+0{,}78765625\approx1$$

Otrzymaliśmy więc równość 1 = 1.