Hiperbola

Hiperbola to krzywa stożkowa. Dla każdego punktu hiperboli wartość bezwzględna różnicy odległości od dwóch ustalonych punktów jest zawsze taka sama. Nawiasem mówiąc, hiperbola to też nazwa środka stylistycznego oznaczającego przesadę.

Jak wygląda hiperbola

Ta definicja brzmi trochę groźnie, więc najpierw przyjrzyj się rysunkowi hiperboli:

Zauważ, że w odróżnieniu od innych krzywych stożkowych, takich jak elipsa czy parabola, hiperbola składa się z dwóch krzywych (gałęzi). Co oznacza nasza definicja? Mamy dane dwa ogniska, F₁ i F₂. Dla każdego punktu X na hiperboli musi zachodzić, że różnica |XF₁|−|XF₂| ma zawsze tę samą wartość bezwzględną.

Na rysunku mamy dwa punkty X₁ i X₂. Dla X₁ różnica wychodzi: |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, w wartości bezwzględnej dostajemy więc wynik 2. Tę samą wartość powinniśmy otrzymać dla X₂. Sprawdźmy: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, w wartości bezwzględnej 2 (to, że długość boku X₂F₂ jest równa pięciu, możesz obliczyć na przykład z twierdzenia Pitagorasa).

Jeśli powtórzymy to dla wszystkich punktów hiperboli, zawsze otrzymamy wynik 2.

Opis hiperboli

Przyjrzyj się rozszerzonemu rysunkowi tej samej hiperboli:

• Punkty F₁ i F₂ nazywamy ogniskami.
• Punkt S nazywa się środkiem hiperboli i leży w środku odcinka F₁F₂.
• Prosta F₁F₂ nazywa się osią rzeczywistą hiperboli. Prosta prostopadła do tej osi w punkcie S nazywa się osią urojoną hiperboli.
• Punkty wspólne hiperboli i osi rzeczywistej nazywamy wierzchołkami hiperboli, na rysunku są to punkty A i B.
• Każdy z odcinków AS i BS nazywamy półosią rzeczywistą hiperboli. Ich długość oznaczamy a.
• Długość półosi urojonej hiperboli oznaczamy b.
• Odległość ogniska od środka nazywa się mimośrodem liniowym, oznaczamy go tu e (w polskich podręcznikach zwykle oznacza się go literą c, a literą e – mimośród, czyli stosunek c/a). Zachodzi zależność:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Żeby lepiej było widać, skąd się wzięła długość półosi urojonej b, przyjrzyj się jeszcze jednemu rysunkowi:

To ta sama hiperbola, do której doszły przede wszystkim asymptoty, czyli te dwie przecinające się fioletowe proste a₁, a₂, które przechodzą przez środek S. Półoś rzeczywista a się nie zmienia, nadal jest to odcinek AS. Teraz jednak odłożymy na asymptocie punkt D tak, żeby odległość |SD| była równa mimośrodowi liniowemu e. Długość odcinka AD jest wtedy długością półosi urojonej hiperboli. Jak widać z rysunku, powstał trójkąt prostokątny, więc możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i dlatego zachodzi zależność

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Narysowany okrąg ma środek w punkcie S i pokazuje tylko, że długość |F₁S| (mimośród liniowy) jest taka sama jak długość |SD|.

Równanie hiperboli

W przypadku hiperboli rozróżniamy dwa przypadki. Zależy to od tego, czy oś rzeczywista hiperboli jest równoległa do osi x, czy do osi y. Weźmy hiperbolę o środku S o współrzędnych (m, n).

• Oś rzeczywista jest równoległa do osi x:

Równanie:

$$\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$$

• Oś rzeczywista jest równoległa do osi y:

Równanie:

$$\frac{(y-n)^2}{a^2}-\frac{(x-m)^2}{b^2}=1$$