Równanie liniowe z parametrem

Równanie liniowe może zawierać parametr, który zwykle oznaczamy literą p. Naszym celem jest wtedy przeprowadzenie dyskusji, czyli ustalenie, jakie rozwiązanie ma równanie liniowe w zależności od parametru p.

Motywacja

Spróbuj rozwiązać takie zadanie: napisałeś powieść „Jak Reksio z Koziołkiem Matołkiem smoka z jaskini przegonili” i chcesz ją wydrukować jako książkę, żeby obdarować znajomych. Masz do dyspozycji 10 000 zł. Cena wygląda tak: opłata podstawowa wynosi sto złotych za książkę, a do tego płaci się złotówkę za każdą stronę. Twoja powieść ma 300 stron. Ile książek możesz sobie kupić?

To proste zadanie na równania liniowe. Równanie ułożymy tak: niewiadoma x będzie oznaczać liczbę książek, które możemy kupić. Dostajemy więc równanie: (100 + 300)x = 10 000. Wyrażenie w nawiasie to cena jednej książki (100 to opłata podstawowa, 300 to cena za strony). Rozwiążmy równanie:

$$\begin{eqnarray} (100+300)x&=&10 000\\ 400x&=&10 000\\ x&=&\frac{10 000}{400}\\ x&=&25 \end{eqnarray}$$

Stać nas na 25 książek. Cena za stronę jest jednak za wysoka, obniżymy ją do 0,8 zł. Ile książek dostaniemy teraz? Znowu ułożymy równanie: (100 + 300 · 0,8)x = 10 000 i je rozwiążemy:

$$\begin{eqnarray} (100+300\cdot0{,}8)x&=&10 000\\ (100+240)x&=&10 000\\ 340x&=&10 000\\ x&=&\frac{10 000}{340}\\ x&\thickapprox&29 \end{eqnarray}$$

Możemy kupić 29 książek. Prawdę mówiąc, przy tak sporej liczbie stron moglibyśmy chyba wynegocjować jakiś mały rabat na każdą stronę, prawda? Może tylko 60 groszy, czyli 0,6 złotego? Czemu nie. No to policzymy, ile książek dostaniemy.

Pewnie się domyślasz, że w ten sposób moglibyśmy zmieniać cenę w nieskończoność. Jak to rozwiązać elegancko? Za pomocą parametru, czyli kolejnej literki, która będzie oznaczać cenę za jedną stronę naszej książki. Ten parametr oznaczymy literą p. Żeby go jakoś ograniczyć, powiedzmy, że cena za stronę będzie się mieścić w przedziale (0, 1> złotych. Nie będzie zerowa, bo za darmo nikt nam tego nie wydrukuje, a nigdzie nie będzie drożej niż złotówka za stronę. Jak w takim razie będzie wyglądać równanie?

$$(100+300p)x=10 000$$

Zgadza się to z naszym wyobrażeniem o cenie — sto złotych to opłata podstawowa, która się nie zmienia. A cenę za 300 stron obliczymy, mnożąc cenę za stronę, czyli parametr p, przez trzysta. Jakie będzie rozwiązanie równania? Musimy wyznaczyć x:

$$\begin{eqnarray} (100+300p)x=10 000\\ x=\frac{10 000}{100+300p} \end{eqnarray}$$

To wszystko. Teraz wystarczy nam znać cenę za stronę i od razu obliczymy, ile książek dostaniemy. Gdyby cena za stronę wynosiła dwadzieścia groszy, po podstawieniu za p mamy:

$$x=\frac{10 000}{100+300\cdot0{,}2}=\frac{10 000}{100+60}=\frac{10 000}{160}\thickapprox62$$

Kupilibyśmy 62 książki. To już całkiem nieźle.

Ogólne równanie z parametrem

W przypadku ogólnego równania z parametrem staramy się ustalić, jakie rozwiązania ma równanie w zależności od wartości parametru. Przykładem takiego równania może być:

$$(2p+2)x-6=0$$

Najpierw sprawdzimy, kiedy z takiego równania zniknie niewiadoma x. Stanie się tak wtedy, gdy współczynnik przy niewiadomej będzie równy zeru, czyli gdy 2p + 2 = 0. Rozwiążemy to równanie i dostaniemy:

$$\begin{eqnarray} 2p+2&=&0\\ 2p&=&-2\\ p&=&-1 \end{eqnarray}$$

Jeśli parametr p jest równy minus jeden, z równania wypada niewiadoma x i dostajemy równanie postaci: −6 = 0. To równanie nie ma żadnego rozwiązania.

Teraz jeszcze obliczymy rozwiązanie w przypadku, gdy p≠ − 1. Rozwiązanie obliczamy normalnie, tylko nie dostaniemy „ostatecznego” rozwiązania, ale rozwiązanie zależne od parametru p. Wyznaczamy x:

$$\begin{eqnarray} (2p+2)x-6&=&0\quad/+6\\ (2p+2)x&=&6\quad/:(2p+2)\\ x&=&\frac{6}{2p+2}\\ x&=&\frac{3}{p+1} \end{eqnarray}$$

To jest wynik końcowy. Jeśli p≠ − 1, rozwiązanie równania jest równe ułamkowi 3/(p + 1).