Równanie liniowe z niewiadomą w mianowniku

Równanie liniowe, w którym występują jakieś ułamki, a w ich mianownikach jakieś zmienne, rozwiązuje się podobnie jak zwykłe równanie liniowe. W pierwszym kroku sprowadzamy równanie do postaci ogólnej, a potem rozwiązujemy je już normalnie.

Gdy w mianowniku jest tylko x

Najprostszy typ takiego równania to taki, w którym mianownik zawiera zmienną x i nic więcej. Przykładem niech będzie równanie:

$$\frac{10}{x}=5$$

Od razu widać, że rozwiązaniem równania będzie x = 2. Ale jak to rozwiązać formalnie, w ogólny sposób? Zmienna w mianowniku nam się nie podoba, musimy się jej pozbyć, bo nie da się z nią rozsądnie pracować. Pytanie brzmi: w jaki sposób pozbyć się x z mianownika?

Wyobraź sobie ułamek postaci

$$\frac{a}{b}$$

Przez jakie wyrażenie musisz pomnożyć ułamek, żeby się tego ułamka pozbyć? Żeby wyrażenie nie było już ilorazem, tylko iloczynem? Przez co musisz pomnożyć jedną trzecią (czyli 1/3), żeby dostać jakąś liczbę całkowitą? Musisz ją pomnożyć przez mianownik ułamka (albo przez jego wielokrotność). Jeśli pomnożysz ułamek przez jego mianownik, dostaniesz ułamek

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

w którym możesz już skrócić pierwotny mianownik b i zostanie ci tylko wartość a. Wróćmy do przykładu z jedną trzecią: co dostaniesz, gdy pomnożysz jedną trzecią przez trzy? Dostaniesz trzy trzecie, czyli liczbę jeden. Co dostaniesz, gdy pomnożysz jedną szóstą przez sześć? Sześć szóstych, czyli jeden. A co dostaniesz, gdy pomnożysz trzy siódme przez siedem? Dostaniesz 3 · 7 = 21, czyli dwadzieścia jeden siódmych, a to są trzy.

Po prostu więc pomnożymy całe równanie przez zmienną x, czyli przez wartość mianownika. Czy wolno nam tak zrobić? Wolno. Wartość x mogłaby co prawda być równa zeru, bo zakładamy, że x należy do zbioru liczb rzeczywistych, ale z dziedziny równania wynika, że x≠0, bo x stoi w mianowniku ułamka, a przez zero dzielić nie można. Jest to więc przekształcenie równoważne równania.

Dobrze, pomnóżmy więc równanie przez niewiadomą x. Co dostaniemy?

$$\begin{eqnarray} \frac{10}{x}&=&5\\ x\cdot\frac{10}{x}&=&x\cdot5\\ \frac{10x}{x}&=&5x \end{eqnarray}$$

Co możemy zrobić teraz? W ułamku możemy skrócić x. Z ułamka 10x/x zostanie więc tylko 10: 10 = 5x. I w tym momencie możemy już to rozwiązać jak zwykłe równanie liniowe. Rozwiązaniem jest x = 2.

Czy ma to jakiś intuicyjny sens? No pewnie. Wyobraź sobie równanie postaci:

$$\frac{x}{2}=10$$

Co mówi nam to równanie liniowe? Że połowa x jest równa dziesięciu. Jeśli jednak weźmiemy dwie połowy x, to muszą one być równe dwudziestu. A przecież dwie połowy x to jedno całe x.

Bardziej złożone wyrażenie w mianowniku

W mianowniku może stać bardziej złożone wyrażenie niż samo x. Rozwiąż równanie:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Jak rozwiążemy to równanie? Jak pozbędziemy się ułamka? W poprzedniej części mnożyliśmy równanie przez mianownik i w ten sposób pozbyliśmy się ułamka. Tutaj postąpimy dokładnie tak samo. Jeśli pomnożymy równanie przez wyrażenie x + 2, to wyrażenie x + 2 znajdzie się w liczniku ułamka i będziemy mogli ładnie je skrócić. Mnożymy:

$$\begin{eqnarray} \frac{5}{x+2}&=&10\quad/\cdot(x+2)\\ (x+2)\cdot\frac{5}{x+2}&=&(x+2)\cdot10\\ \frac{(x+2)\cdot5}{x+2}&=&10\cdot(x+2)\quad/\mbox{skracamy } (x+2)\\ 5&=&10\cdot(x+2) \end{eqnarray}$$

Pozbyliśmy się ułamka i teraz zostaje już tylko wymnożyć nawiasy i obliczyć wynik.

$$\begin{eqnarray} -10x-15&=&0\\ x&=&-\frac32 \end{eqnarray}$$

Kilka ułamków

Sytuacja może się mocno skomplikować, jeśli w równaniu masz kilka ułamków i kilka wyrażeń w mianownikach. Przykład:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Jak rozwiązać to równanie? Mamy w nim dwa ułamki o różnych mianownikach i w obu występuje zmienna x. Rozwiązanie polega na tym, że pomnożymy równanie przez oba mianowniki. Możemy to zrobić albo po kolei, albo naraz. Jeśli zrobimy to po kolei, obliczenia będą wyglądać tak. Zaczniemy od mnożenia przez (x + 2).

$$\begin{eqnarray} \frac{5}{x+2}&=&\frac{4}{x+3}\quad/\cdot(x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}&=&\frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5&=&\frac{4(x+2)}{x+3} \end{eqnarray}$$

A teraz pomnożymy równanie jeszcze przez drugi mianownik, (x + 3):

$$\begin{eqnarray} 5&=&\frac{4(x+2)}{x+3}\quad/\cdot(x+3)\\ 5(x+3)&=&\frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)&=&4(x+2) \end{eqnarray}$$

Teraz już tylko wymnożymy nawiasy i obliczymy wynik:

$$\begin{eqnarray} 5x+15&=&4x+8\\ x&=&-7 \end{eqnarray}$$

Drugi sposób polega na tym, że pomnożymy równanie przez oba mianowniki jednocześnie. Czyli na samym początku pomnożymy równanie przez wyrażenie (x + 2)(x + 3). Dostaniemy:

$$\begin{eqnarray} \frac{5}{x+2}&=&\frac{4}{x+3}\quad/\cdot(x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}&=&\frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)&=&4(x+2) \end{eqnarray}$$

Możemy sobie na to pozwolić, bo jeśli pomnożymy równanie przez wyrażenie a, a potem przez wyrażenie b, to jest to samo, jakbyśmy pomnożyli je przez wyrażenie a · b.