Równanie liniowe z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna to funkcja, która nie zmienia liczby nieujemnej, a z liczby ujemnej robi dodatnią. Wartość bezwzględna może się pojawić także w równaniach liniowych.

Powtórka

Przypomnijmy sobie, jak się wartość bezwzględną oblicza i zapisuje. Wyrażenie w wartości bezwzględnej zapisujemy za pomocą pionowych kresek, o tak: |a|. Czytamy „wartość bezwzględna liczby a”. Wartość bezwzględna liczby nieujemnej jest tą samą liczbą. Przykłady: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Za to wartość bezwzględna liczby ujemnej jest liczbą dodatnią: $|-7|=7, |-\pi|=\pi, |-\frac12|=\frac12$. Wartość bezwzględna zera jest równa zeru.

Prosty przykład

Przykładem prostego równania liniowego z wartością bezwzględną jest równanie |x| = 3. Pytanie brzmi: kiedy wartość bezwzględna da nam w wyniku trzy? Będą to dwa x — jeden dodatni i jeden ujemny, więc równanie ma dwa rozwiązania. Pierwsze to x₁ = 3, bo |3| = 3. Drugie to x₂ = −3, bo |−3| = 3.

Spróbujmy równanie trochę zmienić i utrudnić: |2x + 1| = 5. Wewnątrz wartości bezwzględnej mamy już bardziej złożone wyrażenie. Możemy jednak postąpić dokładnie tak samo jak przed chwilą. Których liczb wartość bezwzględna jest równa pięciu? Znowu 5 i −5. Co z tego wynika? Że wnętrze wartości bezwzględnej, czyli wyrażenie 2x + 1, musi być równe pięciu albo minus pięciu. Tylko wtedy równanie jest spełnione. Rozwiązujemy więc równania 2x + 1 = 5 oraz 2x + 1 = −5. Rozwiązujemy je jak zwykłe równania liniowe. Wychodzi nam:

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&5\\ 2x&=&4\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

I drugi wynik:

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&-5\\ 2x&=&-6\\ x&=&-3 \end{eqnarray}$$

Mamy więc dwa wyniki: x₁ = 2 i x₂ = −3. Możemy je dla sprawdzenia podstawić do wyjściowego równania. Dla x = 2 dostajemy: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5, a dla x = −3 mamy: |2 · (−3)+1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Pozbywanie się wartości bezwzględnej

Poprzedni sposób trudno jednak zastosować, gdy masz bardziej złożone równanie. Na przykład takie:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Tu mamy już dwa wyrażenia w wartości bezwzględnej, więc musimy wybrać inny sposób. Najpierw trochę prostszy przykład: co będzie prawdą dla wyrażenia |x − 2|, jeśli x weźmiemy z przedziału (2, ∞)? Wyrażenie w wartości bezwzględnej będzie zawsze dodatnie. Jeśli podstawimy na przykład trójkę, dostaniemy: 3 − 2 = 1. Jeśli podstawimy dziesiątkę, mamy: 10 − 2 = 8 itd. Dla dowolnej liczby z tego przedziału wyrażenie w wartości bezwzględnej jest dodatnie. Jak w takim razie zmieni ją wartość bezwzględna? Wcale. To ważne spostrzeżenie. Jeśli wyrażenie pod wartością bezwzględną jest zawsze dodatnie, możemy wartość bezwzględną opuścić — jest tam zbędna. Jeśli bierzemy x z przedziału (2, ∞), to zachodzi równość |x − 2| = x − 2 (czyli pozbyliśmy się wartości bezwzględnej).

A teraz przykład odwrotny — co, jeśli weźmiemy x z przedziału (−∞, 2)? Jaka będzie wartość wyrażenia w wartości bezwzględnej, czyli wartość wyrażenia x − 2? Zawsze ujemna! Sprawdźmy, podstawiając jedynkę: 1 − 2 = −1 albo zero: 0 − 2 = −2. Co z taką wartością zrobi wartość bezwzględna? Zamieni ją na dodatnią, czyli zmieni jej znak. Znak możemy zmienić, mnożąc przez minus jeden, bo 5 · (−1) = −5, ale też −7 · (−1) = 7 i −15 · (−1) = 15.

Jeśli więc bierzemy x z przedziału (−∞, 2), to wyrażenie w wartości bezwzględnej będzie zawsze ujemne, a wartość bezwzględna zadziała i zmieni jego znak — pomnoży je przez −1. Możemy więc napisać, że dla x z (−∞, 2) zachodzi równość: |x − 2| = −(x − 2). Podstawmy dla próby na przykład zero. Najpierw do wyrażenia z wartością bezwzględną: |0 − 2| = |−2| = 2, a teraz do prawej strony: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Jak widać, takie przedziały pozwalają nam rozbić wyrażenie z wartością bezwzględną na dwa różne wyrażenia, którymi możemy się zająć zupełnie osobno. To wygodne. Zostaje pytanie, jak te przedziały znaleźć?

Metoda przedziałów

Kiedy wyrażenie x − 2 zmieniało znak? Z poprzedniej części wiemy, że w całym przedziale (−∞, 2) wyrażenie jest ujemne, a w całym przedziale (2, ∞) dodatnie. Jakie jest w punkcie x = 2? Po podstawieniu widzimy, że 2 − 2 = 0, czyli równe zeru. To nie przypadek. Przyczynę najlepiej widać na wykresie funkcji liniowej:

Wykresem funkcji liniowej jest prosta, która może przeciąć oś x tylko raz, a gdy przetnie oś x, zmienia znak. Dlatego jeśli funkcja liniowa przecina oś x w punkcie a, to w przedziale (−∞, a) ma inny znak niż w przedziale (a, ∞).

Jeśli więc szukamy przedziałów, w których funkcja liniowa jest dodatnia, a w których ujemna, wystarczy znaleźć jej miejsce zerowe, czyli taki punkt x₀, w którym funkcja liniowa f przyjmuje wartość zero: f(x₀) = 0. Gdy więc szukamy przedziałów, w których wyrażenie x − 2 jest dodatnie, najpierw rozwiązujemy równanie x − 2 = 0. Rozwiązaniem jest x = 2. Potem możemy utworzyć przedziały: (−∞, 2) i (2, ∞). W tych przedziałach rozwiązujemy dalej równanie, ale już bez wartości bezwzględnej.

Wreszcie wracamy do przykładu…

Wiele linijek temu postawiliśmy sobie przykład:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Jak go rozwiążemy? Najpierw znajdziemy miejsca zerowe każdego wyrażenia pod wartością bezwzględną, czyli wyrażeń 4x + 2 i x − 1. Wyrażenie 4x + 2 ma miejsce zerowe $x=-\frac12$, a wyrażenie x − 1 ma miejsce zerowe x = 1. Skoro mamy dwa miejsca zerowe, dostaniemy w sumie trzy przedziały. Każde miejsce zerowe jakoś dzieli przedział (−∞, ∞). W sumie dostajemy więc przedziały $(-\infty, -\frac12)$, $\left<-\frac12, 1\right>$ i (1, ∞). Przedziały zawsze wybieramy tak, żeby pokryły cały przedział (−∞, ∞).

W kolejnym kroku musimy ustalić, czy wyrażenia są w danych przedziałach dodatnie, czy ujemne. Posłuży nam do tego tabelka:

$$ \Large \begin{matrix} x&(-\infty, -\frac12)&\left<-\frac12, 1\right>&(1, \infty)\\\hline 4x+2&-&+&+\\ x-1&-&-&+ \end{matrix} $$

Znak minus − oznacza, że wyrażenie jest w danym przedziale ujemne, znak plus + oznacza, że jest dodatnie. Skąd to wiemy? Podstawiliśmy dowolną liczbę z przedziału. Na przykład w środkowym przedziale mogliśmy podstawić zero, co jest rachunkowo najprostsze. Wtedy dla wyrażenia 4x + 2 dostajemy 4 · 0 + 2 = 2, a dla x − 1 mamy 0 − 1 = −1.

Wskazówka: jeśli w pierwszym przedziale wyrażenie jest ujemne, a w następnym dodatnie, to w każdym kolejnym przedziale też będzie dodatnie. Funkcja liniowa nie może dwa razy zmienić znaku, zobacz rysunek wyżej z wykresem funkcji liniowej.

Wiemy już, w których przedziałach które wyrażenia są dodatnie, a które ujemne. Dalsze obliczenia musimy rozbić na trzy kroki, w każdym przedziale rozwiązujemy osobno.

Pierwszy przedział, czyli x bierzemy z $(-\infty, -\frac12)$. W tym przedziale oba wyrażenia są ujemne, więc jeśli chcemy pozbyć się wartości bezwzględnej, oba wyrażenia muszą zmienić znak. W tym przedziale rozwiązujemy więc równanie:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

To równanie po prostu rozwiążemy za pomocą przekształceń równoważnych:

$$\begin{eqnarray} -(4x+2)-(x-1)&=&6\\ -4x-2-x+1&=&6\\ -5x-1&=&6\\ -5x&=&7\\ x&=&-\frac{7}{5} \end{eqnarray}$$

Uwaga, musimy sprawdzić, czy rozwiązanie należy do przedziału, który teraz rozpatrujemy. Zakładamy przecież teraz, że x bierzemy z przedziału $(-\infty, -\frac12)$, więc gdyby wyszło nam rozwiązanie spoza tego przedziału, nie moglibyśmy go użyć. Minus siedem piątych leży w przedziale $(-\infty, -\frac12)$, więc jest to prawidłowe rozwiązanie równania.

Drugi przedział, czyli x bierzemy z $\left<-\frac12, 1\right>$. W tym przedziale wyrażenie 4x + 2 jest dodatnie, a wyrażenie x − 1 wciąż ujemne. Rozwiązujemy więc równanie

$$4x+2-(x-1)=6$$

Znowu po prostu przekształcamy:

$$\begin{eqnarray} 4x+2-(x-1)&=&6\\ 4x+2-x+1&=&6\\ 3x+3&=&6\\ 3x&=&3\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Czy rozwiązanie należy do przedziału, w którym pracujemy? Tak, należy. Znaleźliśmy kolejne rozwiązanie równania.

Trzeci przedział, czyli przedział (1, ∞). W tym przedziale oba wyrażenia są dodatnie, więc możemy opuścić wartość bezwzględną bez żadnej zmiany. Rozwiązujemy więc równanie:

$$4x+2+x-1=6$$

To równanie łatwo rozwiążemy:

$$\begin{eqnarray} 4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1 \end{eqnarray}$$

Dostaliśmy kolejny wynik, taki sam jak w poprzednim przedziale. Ale czy jest to prawidłowe rozwiązanie dla przedziału, który teraz rozpatrujemy? Nie jest! Rozpatrujemy przedział otwarty (1, ∞), jedynka do niego nie należy, więc rozwiązania znalezionego w tym trzecim kroku nie możemy zaliczyć do prawidłowych rozwiązań.

Nasze równanie ma więc dwa rozwiązania: $K=\left\{-\frac75, 1\right\}$.

Rozwiązanie graficzne

Tak jak zwykłe równanie liniowe, również to można rozwiązać graficznie. Po lewej stronie mamy funkcję f(x) = |4x + 2|+|x − 1|, a po prawej g(x) = 6. Narysujemy wykresy tych dwóch funkcji — przetną się w dwóch punktach. Współrzędne x tych punktów są rozwiązaniami równania.

Zbiór rozwiązań K zawiera więc liczby $K=\left\{-\frac75, 1\right\}$.