Складніші приклади на похідні

Кілька прикладів на складніші похідні, ніж звичайна робота з формулами. Якщо тобі потрібно пояснити означення похідної, перейди до статті похідна функції.

Перший приклад

Почнімо з чогось ще не надто складного.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

З формул похідних функцій ми знаємо, що похідна функції e^x — знову e^x. На жаль, цей простий спосіб не можна застосувати в цьому прикладі безпосередньо, бо в показнику степеня стоїть не просто x, а −x, тож цю функцію треба розглядати як складену функцію. Але на першому кроці нас однаково чекає розклад за формулою для добутку.

$$f^\prime(x)=(x^3)^\prime\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=$$

Лівий многочлен диференціюємо за класичною формулою, решту залишаємо як є:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=$$

Тепер треба продиференціювати останню функцію. Як ми вже казали, це складена функція, тож диференціюємо її за правилом для складених функцій:

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&h(g(x))\\ f^\prime(x)&=&h^\prime (g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$

Отже, похідна нашої функції виглядатиме так:

$$(e^{-x})^\prime=e^{-x}\cdot(-x)^\prime=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$$

Вираз e^−x не змінюється, бо похідна e^x — знову e^x, а на першому кроці формули ми диференціюємо зовнішню функцію, а внутрішню залишаємо недиференційованою. На другому кроці множимо проміжний результат на похідну аргумента функції, тобто функції −x. Похідна функції −x дорівнює −1. Тепер просто підставляємо наш результат у попередній вираз:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Другий приклад

Умова другого прикладу:

$$f(x)=\frac{\ln(\cos x)}{\operatorname{tg} x}$$

Тут маємо дріб: у чисельнику одна функція, у знаменнику інша. Тож на першому кроці диференціюємо за формулою для частки. Після застосування формули отримуємо:

$$\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\operatorname{tg} x-\ln(\cos x)\cdot(\operatorname{tg} x)^\prime}{\operatorname{tg}^2 x}$$

Підемо з кінця: спершу продиференціюємо тангенс, бо його можна легко продиференціювати за основною формулою. Виконується

$$(\operatorname{tg} x)^\prime=\frac{1}{\cos^2x}.$$

Після застосування цієї формули в чисельнику дробу отримуємо

$$\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\operatorname{tg} x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\operatorname{tg}^2 x}$$

Тепер потрібно продиференціювати логарифм. На жаль, усередині логарифма є ще одна вкладена функція, тож маємо складену функцію й логарифм треба диференціювати складніше, як складену функцію. Похідна самого логарифма — це 1/x, але замість x підставляємо аргумент логарифма, тобто косинус. Далі ще треба помножити на похідну аргумента, тобто на похідну косинуса. Отже, похідна логарифма виглядатиме так:

$$(\ln(\cos x))^\prime=\frac{1}{\cos x}\cdot(\cos x)^\prime=-\frac{1}{\cos x}\cdot\sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Вийшов доволі гарний дріб. Якщо ти добре пам'ятаєш тригонометрію, то знаєш, що цей дріб дорівнює тангенсу. Тож можемо записати, що все це дорівнює мінус тангенс:

$$(\ln(\cos x))^\prime=-\operatorname{tg} x$$

Підставимо це в попередній результат:

$$=\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\operatorname{tg} x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\operatorname{tg}^2 x}=\frac{-\operatorname{tg} x\cdot\operatorname{tg} x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\operatorname{tg}^2 x}=$$

У чисельнику двічі тангенс, тож його легко піднести до квадрата. Логарифм можемо перенести в чисельник наступного дробу.

$$=\frac{-\operatorname{tg}^2 x-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x}}{\operatorname{tg}^2 x}=$$

Тепер можемо розділити чисельник і отримати два дроби

$$=-\frac{\operatorname{tg}^2x}{\operatorname{tg}^2x}-\frac{\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x}}{\operatorname{tg}^2x}=$$

У першому дробі чисельник дорівнює знаменнику, тож отримуємо одиницю. У другому дробі позбутися дробу в чисельнику можна, розширивши дріб виразом cos²x.

$$=-1-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x\cdot\operatorname{tg}^2x}=$$

Тепер тангенс можна розкласти на частку sin x / cos x. Але оскільки тангенс у квадраті, то в дробі чисельник і знаменник теж будуть у квадраті. Після цього одразу можна скоротити cos²x.

$$=-1-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=-\frac{\ln(\cos x)}{\sin^2x}-1.$$

Це остаточний результат диференціювання.

Третій приклад

Знайди похідну функції

$$f(x)=x^{(x^{\frac12})}.$$

Якщо це не видно одразу — усе це показники степеня, тобто «x у степені x у степені одна друга». На першому кроці спершу виконаємо перетворення за формулою:

$$x=e^{\ln x}$$

За допомогою цієї формули розкладемо перший x у нашому прикладі:

$$f(x)=(e^{\ln x})^{x^{\frac12}}$$

Тепер застосуємо формулу для роботи зі степенями:

$$(a^b)^c=a^{b\cdot c}$$

Позбуваємося дужок і складаємо в добуток найвищий показник із логарифмом:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}$$

Тепер функція має вигляд, у якому її буде зручніше диференціювати. Це складена функція, і диференціювати її будемо саме так. Перша функція — e^x, де замість x підставляємо весь показник, а друга функція стоїть у показнику. Отже, розкладаючи, отримуємо:

$$f^\prime(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}\cdot(\ln x\cdot x^{\frac12})^\prime$$

Дужку будемо диференціювати як добуток, тож застосовуємо формулу для добутку.

$$(\ln x\cdot x^{\frac12})^\prime=(\ln x)^\prime\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot (x^{\frac12})^\prime=$$

Похідна логарифма — це 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot (x^{\frac12})^\prime=$$

Тепер диференціюємо другий вираз за класичною формулою для степеневих функцій. Отже, виконується:

$$\left(x^{\frac12}\right)^\prime=\frac12x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}=\frac{x^{-\frac12}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac12}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Підставимо цей результат у наше обчислення:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Перший добуток можна ще спростити, знову за формулами для роботи зі степенями:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12}=x^{-1}\cdot x^{\frac12}=x^{-1+\frac12}=x^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Перепишемо попередній вираз за допомогою обчислення, яке ми щойно виконали:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

І нарешті перенесемо логарифм у чисельник дробу:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Перший дріб можна розширити, помноживши чисельник і знаменник на два, і тоді дроби можна додати:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Тепер можемо повернутися до всієї похідної:

$$f^\prime(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}\cdot\left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Знову замінимо e^{ln x} на x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Так ми отримали остаточний результат.