Послідовності

Послідовність — це функція, областю визначення якої є множина натуральних чисел. Послідовність може бути нескінченною, якщо її областю визначення є вся множина натуральних чисел, або скінченною, якщо її область визначення — лише скінченна підмножина натуральних чисел. Якщо прямо не сказано, що послідовність скінченна, вважається, що вона нескінченна.

Означення послідовності

Цей розділ хоч трохи пояснює зміст означення послідовності. Знати його не обов'язково, тож, якщо хочеш, можеш увесь розділ пропустити.

Уже у вступі йшлося про функцію, для якої областю визначення є натуральні числа. Областю значень може бути довільна множина, але тут ми вважатимемо, що це множина дійсних чисел. Що це означає? Найпомітніша зміна стосується графіка функції: це вже не суцільна лінія, як зазвичай буває в звичайних функцій, а лише розсіяні окремі ізольовані точки послідовності.

Послідовністю може бути, наприклад, низка чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Це досить чітко задана послідовність, і кожному має бути зрозуміло, як вона продовжується. Оскільки це функція, таблиця відповідностей для цієї послідовності виглядала б так:

$$\begin{eqnarray} 1&\rightarrow&1\\ 2&\rightarrow&3\\ 3&\rightarrow&5\\ 4&\rightarrow&7\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Числа в першому стовпці (значення з області визначення) показують, яке місце посідає відповідне число в послідовності. Наприклад, у нашій простій послідовності число п'ять стоїть на третій позиції. Саме це нам і каже таблиця. На четвертій позиції послідовності стоїть число сім, на першій — одиниця, і так далі. Звідси також випливає, що областю визначення скінченної послідовності p має бути множина виду

$$D(p)=\left\{1, 2, 3, \ldots, n\right\},$$

щоб це справді був порядок і жодна позиція не була пропущена. Наприклад, множина

$$D(p)=\left\{1{,}2,3{,}5,7\right\}$$

не годиться як область визначення послідовності, бо в ній бракує четвертого та шостого елементів.

Отже, суть послідовності в тому, що її елементи можна якось впорядкувати: кожен елемент послідовності, крім першого й останнього, має попередній і наступний. Це величезна відмінність від дійсних функцій, де нічого такого немає. Якщо взяти функцію f(x) = 2x, то яке значення йде після f(5/2)? Ми цього не знаємо: результат — дійсне число, а в дійсних чисел наступного немає.

Запис послідовності

Ми вже знаємо, що — спрощено кажучи — послідовність є пронумерованою низкою чисел. Тепер подивімося, як послідовність можна записувати. Саму послідовність зазвичай позначають малою літерою з нижнім індексом, наприклад a_i.

Перший спосіб — перелічити всі значення послідовності. З цим ми вже стикалися в попередньому розділі. Перелік може бути скінченним або нескінченним:

$$\begin{eqnarray} a_k&=&(1{,}2,3{,}4,5)\\ a_n&=&(2{,}4,6{,}8,10,\ldots) \end{eqnarray}$$

Примітка: я не впевнений, які дужки зазвичай використовують для послідовностей, єдиного правила я не знайшов. Фігурні дужки я б, мабуть, не вживав, бо ними позначають множини, у яких порядок не має значення, тоді як у послідовностях порядок членів важливий.

Другий спосіб — формула n-го члена послідовності. Наприклад, послідовність a_n містила всі парні числа. Формулою це можна записати так:

$$a_n=2n.$$

Нижній індекс n показує, котрий елемент послідовності ми саме обчислюємо. Тож якщо хочемо знати перший елемент, нам потрібен елемент a₁, якщо сьомий — то a₇. Сьомий елемент обчислимо підстановкою у формулу.

$$a_7=2\cdot7=14$$

Такий запис зручний, бо дає змогу одразу обчислити будь-який елемент послідовності. Ще один спосіб — запис за допомогою рекурентного задання. Рекурентне задання дає змогу обчислити наступний член, якщо відомий поточний. Тобто якщо ми знаємо елемент a_n, можемо знайти елемент a_{n + 1}.

Щоб задати послідовність рекурентно, потрібно вказати дві речі: який елемент перший і за якою формулою обчислюється (n + 1)-й елемент. Якби ми хотіли задати послідовність парних натуральних чисел рекурентно, зробили б це так:

$$a_1=2;\quad a_{n+1}=a_n+2$$

Як тепер рахувати? Ми знаємо, що a₁ дорівнює двом. Тепер підставимо замість n одиницю, і a₂ отримаємо, додавши до a₁ двійку. Виходить чотири — друге парне число. І так далі.

$$\begin{eqnarray} a_1&=&2\\ a_2&=&a_1+2\quad(=4)\\ a_3&=&a_2+2\quad(=6)\\ a_4&=&a_3+2\quad(=8)\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Рекурентний запис добре підходить, коли треба згенерувати більшу частину послідовності. І навпаки, він не годиться, коли треба обчислити якийсь конкретний елемент: щоб обчислити соте парне число, довелося б спершу обчислити всі 99 парних чисел, що йдуть перед ним.

Останній спосіб — задати послідовність графіком.

Ще для ясності: послідовність не обов'язково має якусь просту формулу, це не обов'язково «розумна» низка чисел. Навіть ця низка чисел є послідовністю, хоча на перший погляд у ньому немає жодного глибшого змісту:

$$a_i=(-5, \frac73, \pi, \pi, \pi, 13, 10^6+54, \log_354, 0)$$

Графік послідовності

Графіки послідовностей відрізняються від графіків звичайних дійсних функцій. Оскільки областю визначення є натуральні числа, графік складається з ізольованих точок.

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це проста послідовність, у якій між сусідніми членами стала різниця. Кожен наступний елемент, скажімо, більший на три або, наприклад, менший на сімнадцять. Різницю, на яку відрізняються елементи послідовності, називають різницею прогресії (позначаємо d). У першому випадку різниця дорівнювала б трьом, у другому — мінус сімнадцяти, а для послідовності парних чисел — двом. Формулою арифметичну прогресію можна записати так:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

Загальна формула n-го члена арифметичної прогресії така:

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Для прикладу знову візьмімо парні числа, де різниця дорівнює двом, а перше парне число — теж двійка. Тоді друге парне число отримаємо, додавши до першого двійку. Якщо додати двійку ще раз, отримаємо третє парне число.

$$\begin{eqnarray} a_1&=&2\\ a_2&=&a_1+2\quad(=4)\\ a_3&=&a_2+2\quad(=6)\\ a_4&=&a_3+2\quad(=8)\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Якби ми хотіли обчислити, наприклад, сьоме парне число, підставили б у загальну формулу так:

$$a_n=a_1+(n-1)d\rightarrow a_7=2+(7-1)\cdot2=2+12=14$$

Як дізнатися, чи є задана послідовність арифметичною прогресією? Віднімемо формулу n-го члена від формули (n + 1)-го члена, і якщо отримаємо сталу різницю, то це арифметична прогресія. Наприклад, нехай маємо послідовність

$$a_n=2n+7.$$

Чи є вона арифметичною прогресією? Почнімо з того, що запишемо (n + 1)-й член:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Тепер віднімемо ці два вирази один від одного:

$$\begin{eqnarray} d&=&(2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d&=&2n+2+7-2n-7\\ d&=&2n-2n+7-7+2\\ d&=&2 \end{eqnarray}$$

Бачимо, що після віднімання вийшло d = 2, отже, це арифметична прогресія з різницею два.

Сума членів арифметичної прогресії

Часто треба знайти суму кількох перших членів арифметичної прогресії. Як це зробити? Інтуїтивно, мабуть, приблизно так. Триматимемося парних чисел. Яка сума перших трьох парних чисел, тобто чисел 2, 4 і 6? Можна, звісно, просто додати їх по черзі, але ми цього не хочемо, ми хочемо формулу.

Змінимо послідовність так: до першого елемента додамо два, а від останнього двійку віднімемо. Отримаємо 4, 4, 4. Бачимо три однакові числа, тож достатньо помножити чотири на кількість членів, тобто на три. Отже, 4 · 3 = 12.

Для п'яти елементів це виглядало б так: 2, 4, 6, 8, 10. До крайніх елементів додаємо й віднімаємо чотири, до передостанніх — двійку.

$$\begin{eqnarray} a_i&=&(2+4), (4+2), 6, (8-2), (10-4)\\ a_i&=&6{,}6,6{,}6,6 \end{eqnarray}$$

Знову досить лише помножити: 6 · 5 = 30. Що ми бачимо? Ми щоразу множимо кількість членів послідовності на її середній член. У послідовності 2, 4, 6 посередині була четвірка, а в послідовності 2, 4, 6, 8, 10 посередині була шістка. Як обчислити середній елемент у загальному випадку (позначимо його p)? Це середнє арифметичне першого й останнього членів послідовності, тобто

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Наприклад, для другої послідовності

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Остаточна формула суми перших n членів послідовності a_n мала б такий вигляд:

$$S_n=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}$$

Формула правильна й для парної кількості елементів, хоча при виведенні ми використовували лише непарну.

Як обчислити різницю прогресії

Як обчислити різницю прогресії, якщо відомі два члени послідовності? Залишімося біля парних чисел. Нехай нам відомі два члени послідовності

$$a_3=6,\quad a_7=14.$$

Як знайти різницю? Спершу обчислимо різницю між цими двома елементами:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Тепер залишається поділити цей результат на кількість кроків між двома відомими елементами, тобто на різницю їхніх індексів:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Різниця дорівнює двом. Остаточна формула для обчислення різниці d, якщо відомі елементи послідовності a_k і a_l:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Графік арифметичної прогресії показує стале зростання або стале спадання — ізольовані точки графіка лежать на одній прямій.

Геометрична прогресія

Геометрична прогресія відрізняється від арифметичної тим, що в двох сусідніх членів стала не різниця, а частка. Цю частку називають не різницею, як в арифметичній прогресії, а знаменником прогресії (позначаємо q). Наприклад, ми могли б мати послідовність, де q = 10, а перший елемент дорівнює 5:

$$\begin{eqnarray} b_1&=&5\\ b_2&=&b_1\cdot10\quad(=50)\\ b_3&=&b_2\cdot10\quad(=500)\\ b_4&=&b_3\cdot10\quad(=5000)\\ \end{eqnarray}$$

Загалом справджується формула:

$$b_{n+1}=b_n\cdot q$$

Формула загального члена геометричної прогресії мала б такий вигляд:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$

Наприклад, третій елемент попередньої послідовності ми обчислили б так:

$$\begin{eqnarray} b_3&=&b_1\cdot q^{3-1}\\ b_3&=&5\cdot q^2\\ b_3&=&5\cdot10^2\\ b_3&=&500 \end{eqnarray}$$

Геометричні прогресії можна поділити ще на дві групи, а саме залежно від того, який у них знаменник. Якщо модуль знаменника менший за одиницю, уся послідовність спадатиме до нуля. Таку послідовність називають збіжною. І навпаки, якщо модуль знаменника більший за одиницю, послідовність прямуватиме до нескінченності, і її називають розбіжною. Для збіжної послідовності справджується проста формула суми всього ряду (вона правильна лише для збіжної, бо розбіжна прямує до нескінченності, а тому її сума дорівнює нескінченності):

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

Формула для обчислення суми перших n членів геометричної прогресії b_n:

$$S_n=b_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$$

Виведення формули можеш прочитати у Вікіпедії.

Графіком геометричної прогресії, крім випадку, коли знаменник дорівнює одиниці або нулю, є множина ізольованих точок, що не лежать на одній прямій. Типовий графік геометричної прогресії виглядає так:

Якщо знаменник від'ємний, графік матиме дві гілки: