Границя функції

Границя функції — одне з найважливіших понять математичного аналізу. Вона описує поведінку певної функції в околі заданої точки, завдяки чому ми можемо, наприклад, означити неперервність функції. Границя функції допомагає зрозуміти поведінку функції навіть у тих місцях, де вона зовсім не визначена.

Окіл точки

Почнімо з означення епсилон-околу точки на множині дійсних чисел. Нехай r ∈ ℝ. Тоді епсилон-околом цієї точки для ε > 0 називаємо відкритий проміжок (r−ε; r+ε). Проколотий епсилон-окіл такий самий, лише не містить точки r. Проколотий окіл — це (r−ε; r) ∪ (r; r+ε). Епсилон-окіл точки a позначаємо U(a, ε), а проколотий окіл — R(a, ε).

Для прикладу візьмімо число п'ять і його 2-окіл. Отже, обчислюємо U(5, 2), тобто проміжок (5 − 2; 5 + 2) = (3; 7). Проколотий окіл був би R(5, 2) = (3; 5) ∪ (5; 7). Той самий окіл, лише без точки п'ять. Графічно зображений 2-окіл точки 5:

Проколотий 2-окіл виглядав би так само, лише без синьої точки 5.

Гранична точка

Далі нам потрібно знати означення граничної точки множини. Елемент a ∈ ℝ є граничною точкою множини M ⊆ ℝ, якщо в кожному його проколотому околі, хоч яким малим, лежить якась точка множини M. Точніше:

$$\forall \epsilon > 0: R(a, \epsilon) \cap M \ne \varnothing$$

Приклади: кожне дійсне число є граничною точкою множини дійсних чисел. Якщо вибрати число 10, то в будь-якому проколотому околі цієї точки завжди знайдемо дійсне число. Для $\epsilon=\frac{1}{100}$ отримуємо проколотий окіл (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). В обох проміжках лежить якесь дійсне число — точніше, там лежить нескінченно багато дійсних чисел. Тож хоч яке мале ε ми візьмемо, завжди отримаємо проміжки, що містять нескінченно багато дійсних чисел.

Якби ми як M вибрали множину натуральних чисел, то не знайшли б жодної граничної точки. Наприклад, число $\frac12$ не є граничною точкою, бо для $\epsilon=\frac{1}{10}$ отримуємо проміжки (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), і жоден із них не містить жодного натурального числа.

Мотивація до границь

Почнімо з найлегшого означення — скінченна границя в скінченній точці. Спершу покажемо, що ми, власне, хочемо обчислити. Подивися на графік функції сигнум:

Якщо взяти точку x₁ = 3, то значення функції в цій точці дорівнює 1. Отже, $\mbox{sgn}(3)=1$. При цьому також виконується, що для всіх «близьких» сусідніх точок функція має значення 1, наприклад $\mbox{sgn}(2,5)=1$ або $\mbox{sgn}(3,5)=1$. Коли ми наближаємося до точки x₁ = 3 зліва чи справа, значення функції завжди дорівнюють одиниці.

Але якщо взяти точку x₂ = 0, то $\mbox{sgn}(0) = 0$, хоча всі сусідні точки мають інше значення функції! Наприклад, $\mbox{sgn}(-\frac12)=-1$ або $\mbox{sgn}(\frac12)=1$. Значення функції справа наближаються до значення 1, а значення зліва наближаються до значення −1. А в самій точці x₂ = 0 ми отримуємо значення функції 0. Несподіванка! Ці значення, до яких функція наближається в даній точці, називають границями функції в точці.

Означення скінченної границі в скінченній точці

Нехай f — функція, x₀ ∈ ℝ — гранична точка області визначення функції f. Тоді кажемо, що L ∈ ℝ є границею функції f у точці x₀, якщо

$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon).$$

А тепер, що це означення означає. Скінченна точка в цьому випадку означає, що точка є дійсним числом. Пізніше ми поговоримо про границі в нескінченних точках, тобто на нескінченності. Спробуймо обчислити таку границю:

$$ \lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = ?. $$

Для таких простих функцій границя функції в точці x₀ дорівнює значенню функції в цій точці: f(x₀). Пізніше ми точно означимо, що таке «проста функція». Тепер усе зобразимо на рисунку:

Чорна пряма — це графік функції $f(x)=\frac{x}{3}$, червона точка x₀ — це точка, у якій ми шукаємо границю, а зелена точка L — це шукана границя. Зверни увагу: границю ми позначаємо на осі y.

Рухатимемося далі за означенням. На першому місці в означенні стоїть $(\forall \epsilon > 0)$, а пізніше ε використано в |f(x)−L|<ε — це такий математичний запис того, що ми хочемо, щоб усі f(x) були віддалені від L менше ніж на ε. Отже, ми шукаємо ε-окіл точки L на осі y. За означенням ми можемо вибрати будь-яке ε > 0, виберімо, наприклад, $\epsilon = \frac{3}{10}$. Знайдімо на осі y точки, віддалені від точки L рівно на ε:

Усі точки на осі y, що лежать між цими зеленими лініями, лежать в ε-околі точки L. Це ті точки, про які йдеться в означенні.

Означення продовжується виразом $(\exists\delta>0)$, який далі використано у виразі 0<|x − x₀|<δ. Ми кажемо, що певна різниця x − x₀ має бути меншою за δ. Оскільки x, x₀ лежать на осі x, значення δ ми теж зображатимемо на осі x. Водночас вираз 0<|x − x₀|<δ знову каже, що потрібно взяти всі x, віддалені від x₀ менше ніж на δ, але водночас більше ніж на нуль, тобто x ≠ x₀. Це означає, що цей запис задає проколотий δ-окіл точки x₀. Означення границі можна рівносильно переписати за допомогою околів точок:

$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(x\in R(x_0, \delta) \Rightarrow f(x) \in U(L, \epsilon))$$

Повернімося до попереднього означення й продовжмо малювати рисунок. Щоб це зобразити, нам потрібна ще одна частина означення:

$$ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon $$

Отже, для всіх x із проколотого δ-околу точки x₀ має виконуватися... якась умова. Додамо на рисунок проколотий δ-окіл точки x₀, наприклад для $\delta=\frac{3}{2}$:

Усі x, що лежать між червоними пунктирними лініями, належать δ-околу x₀, крім самої точки x₀. Знову подивімося на попередню умову:

$$ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon $$

Для всіх x із проколотого δ-околу точки x₀ має виконуватися, що всі значення функції f(x) лежать в ε-околі точки L. Тож візьмімо всі x із проколотого δ-околу точки x₀ й обчислімо значення функції. На наступному рисунку ці значення функції зображено синім відрізком:

Точка x₀ не належить проколотому околу, тому в цьому місці є кружечок. Означення каже, що для всіх цих синіх точок має виконуватися, що вони лежать в ε-околі точки L. Кольорами рисунка: усі сині точки мають лежати між зеленими лініями, які зображують ε-окіл. Чи так це?

Звісно, ні: наприклад, для $x=\frac{16}{10}$ очевидно отримуємо якусь синю точку, що не лежить між зеленими лініями, тобто не лежить в ε-околі точки L.

Але це не біда: означення каже, що для кожного ε-околу точки L має існувати якийсь δ-окіл, такий що … решта умови. Це означає, що нам досить, щоб існував один такий δ-окіл. $\delta=\frac{3}{2}$, очевидно, був невдалим вибором, але можна спробувати інше δ, наприклад $\delta=\frac12$. Рисунок змінився б так:

Знову перевіримо, чи всі значення функції для всіх x із проколотого δ-околу точки x₀ лежать в ε-околі точки L. Одним словом, чи всі сині точки лежать між зеленими лініями. Так, тепер уже лежать, ура.

Чи означає це, що L є границею функції в точці x₀? Не обов'язково, адже означення стверджує, що $(\forall \epsilon > 0) \ldots$. Ми поки що перевірили означення для одного конкретного ε, а залишилося ще… нескінченно багато.

Іншими словами, щоб справді виконувалося $\lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = 1$, ми мали б для кожного ε-околу знайти якийсь δ-окіл, такий щоб виконувалася попередня умова. З рисунка видно, що такий δ-окіл завжди знайдеться, наприклад, якщо зменшити ε до $\epsilon=\frac{1}{10}$, то можна зменшити й δ до $\delta=\frac{2}{10}$, і все спрацює:

Яким би малим ми не взяли ε, завжди потрібно знайти таке δ, щоб ми змогли вмістити значення функції в ε-окіл границі функції L.

Доведення скінченної границі в скінченній точці

Спробуймо справді довести попередню границю. З рисунка ми вже знаємо, що, найімовірніше,

$$ \lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = 1, $$

тепер спробуємо довести це математично. З рисунка можна здогадатися, що якщо завжди брати за δ те саме значення, що й ε, то все може вийти. Тож покладемо δ = ε. Тепер потрібно довести

$$ L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon, \quad \mbox{для всіх}\quad x \in (x_0-\delta; x_0)\cup(x_0; x_0+\delta) $$

Оскільки ми поклали δ = ε, замінимо всі δ на ε:

$$ L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon, \quad \mbox{для всіх}\quad x \in (x_0-\epsilon; x_0)\cup(x_0; x_0+\epsilon) $$

Замість L підставимо 1, а замість x₀ підставимо 3:

$$ 1 - \epsilon < f(x) < 1 + \epsilon, \quad \mbox{для всіх}\quad x \in (3-\epsilon; 3)\cup(3; 3+\epsilon) $$

Тепер потрібно довести всі нерівності. Оскільки функція $\frac{x}{3}$ зростаюча, досить перевірити крайні точки 3−ε і 3+ε. Почнімо з 3−ε: підставимо у функцію $\frac{x}{3}$ значення 3−ε і покажемо, що це значення завжди задовольняє нерівності 1 − ε < f(x) < 1 + ε:

\begin{eqnarray} 1 - \epsilon < &f(x)& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{x}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{3-\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{3}{3}-\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &1-\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ -\epsilon < &-\frac{\epsilon}{3}& < \epsilon\\ \end{eqnarray}

Те саме з 3+ε:

\begin{eqnarray} 1 - \epsilon < &f(x)& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{x}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{3+\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{3}{3}+\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &1+\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ -\epsilon < &\frac{\epsilon}{3}& < \epsilon\\ \end{eqnarray}

Неправильно визначена границя

Тепер ще накреслимо, що сталося б, якби ми подумали, що границя функції при x, яке прямує до трьох, дорівнює одній другій. Виберімо якийсь малий епсилон-окіл:

І тепер ми вже не можемо знайти такий дельта-окіл точки x₀, усі значення функції в якому вмістилися б між цими зеленими лініями. Бачимо, що для вибраного δ-околу всі сині точки лежать поза зеленими лініями. Якби ми збільшили δ-окіл, то лише збільшили б кількість синіх точок, яких не вдасться вмістити між зелені лінії.

Границя сигнум

Сигнум — чудова функція, яка, мабуть, закрутить тобі голову. Ось графік:

Графік не зовсім зрозумілий, тож словесний опис: якщо x від'ємне, то сигнум дорівнює мінус одиниці, якщо додатне — плюс одиниці, а якщо x дорівнює нулю, то й сигнум дорівнює нулю. Перетворимо графік за допомогою модуля: f(x) = |sgn(x)|, і отримаємо |sgn(0)| = 0, а в решті випадків |sgn(x)| = 1. Графік:

Питання таке: чому дорівнює ця границя?

$$\lim_{x\rightarrow0}|\mbox{sgn}(x)|=?$$

Функція в точці нуль визначена, і значення функції теж дорівнює нулю. Проте це не означає, що й границя дорівнюватиме нулю. Границя може відрізнятися від значення функції в даній точці.

Єдиний спосіб вибрати границю так, щоб означення виконувалося, — вибрати границю, що дорівнює одиниці. Можна скористатися й інтуїцією: до чого наближається значення функції, якщо x наближається до нуля зліва? Воно невпинно наближається до одиниці. Те, що зрештою воно стрибає до нуля, нам не заважає. Так само для x, що наближається до нуля справа.

$$\lim_{x\rightarrow0}|\mbox{sgn}(x)|=1$$

Якби ми залишили функцію в початковому вигляді, тобто f(x) = sgn(x), то в точці нуль функція не мала б границі, а мала б дві різні односторонні границі. Зліва функція наближалася б до мінус одиниці, а справа — до плюс одиниці. Можеш спробувати довести це за означенням.

Границі, яких не існує

Покажемо ще кілька прикладів, коли границь не існує.

Найпростіший приклад відсутності границі — обчислити границю в точці, що не є граничною точкою D(f). Наприклад, не існує границі:

$$\lim_{x\rightarrow-1}\ln x$$

Графік:

Періодичні функції часто не мають границі на нескінченності (це правильно не для всіх!). Типовий приклад — тригонометричні функції, скажімо, синус. Графік:

Границі на нескінченності просто не існує: значення синуса невпинно коливається між одиницею та мінус одиницею, тож границю обчислити не можна.