Неперервність функції

Неперервність функції, як підказує інтуїція, показує, чи є функція в заданій точці неперервною, чи вона якось «розірвана». Неперервність ми означаємо й обчислюємо за допомогою границь функцій; якщо границі тобі незнайомі, нічого не зрозумієш.

Означення неперервності функції

Неперервність напрочуд просто означається й легко розуміється, якщо тобі повністю зрозумілі границі. Отже, означення неперервності функції:

Функцію f(x) називаємо неперервною в точці a з області визначення функції f, якщо виконується:

$$ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a) $$

Можна також означити неперервність зліва і справа, якщо замість границі підставити границю зліва чи справа. Зверни увагу:

• Ми означили лише неперервність функції f у точці. Якщо функція f неперервна в усіх точках своєї області визначення, то можемо сказати, що f — це неперервна функція на всій області визначення.
• Точка a в означенні неперервності має бути граничною точкою.
• Щоб функція була неперервною в точці a, має існувати f(a) (значення a має належати області визначення функції), має існувати границя $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$, і обидва значення мають дорівнювати одне одному.
• Функція, неперервна в точці, неперервна в ній і зліва, і справа. Функція, як і у випадку границь, може бути неперервною в точці лише зліва або лише справа. Якщо границі зліва і справа різні, функція в цій точці не є неперервною.

Що нам каже означення? По-перше, функція в цій точці має бути визначена. Якщо функція в цій точці не визначена, то вона напевно не є в ній і неперервною. Якщо визначена, дивимося на границі. Якщо функція і справа, і зліва наближається до значення функції в цій точці, то вона в цій точці неперервна. Якщо границі відмінні від значення функції, то функція в цій точці розривна.

Простий приклад: у статті границя функції ми розглядали функцію $f(x)=\frac{x}{3}$, це проста лінійна функція. Для будь-якої точки a∈ ℝ виконується

$$ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a). $$

Отже, функція f неперервна на всій своїй області визначення. Наприклад, якби ми підставили замість a число 6, то мали б:

\begin{eqnarray} f(6) &=& 2\\ \lim_{x\rightarrow 6} \frac{x}{3} &=& 2\\ \end{eqnarray}

Точки розриву

Якщо функція в точці a не є неперервною, то це означає, що в цій точці вона розривна. Це не дивина. Проте ми розрізняємо кілька видів точок розриву залежно від того, наскільки сильно довелося б «змінити графік функції», щоб вона стала неперервною.

Є три основні види розриву:

Точка усувного розриву

Точкою усувного розриву називаємо точку, для якої існують обидві односторонні границі, ці границі рівні, тобто функція в цій точці має границю, але ця границя відмінна від значення функції або функція в цій точці не визначена. Якщо a — точка усувного розриву функції f(x), то виконується:

$$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow a^-} f(x), \quad \mbox{ але }\quad \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \ne f(a) \ne \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) $$

Як приклад покажемо функцію модуль від сигнума x. Хочемо знати, чи неперервна функція в точці a = 0. Графік:

Бачимо, що функція майже вся неперервна, лише в точці нуль є «дірка», бо значення функції тут дорівнює нулю, а не одиниці. Водночас границі і зліва, і справа в цій точці дорівнюють одиниці. Такий розрив називається усувним, бо простим перевизначенням цієї єдиної точки отримуємо неперервну функцію. Цей розрив, отже, легко усунути.

Точка розриву першого роду

Точкою розриву першого роду називаємо точку a, у якій існують обидві односторонні границі, до того ж вони скінченні, але не рівні. Означення:

$$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \ne \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) $$

Цю точку розриву покажемо на простій функції $f(x) = \operatorname{sgn}(x)$:

Знову бачимо, що в точці a = 0 функція розривна. Водночас границя зліва дорівнює −1, а границя справа дорівнює 1:

\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow0^-} \operatorname{sgn}(x) &=& -1\\ \lim_{x\rightarrow0^+} \operatorname{sgn}(x) &=& 1\\ \end{eqnarray}

Границі зліва і справа не рівні, але скінченні. Отже, це точка розриву першого роду.

Для такої точки розриву означимо ще поняття стрибка функції в точці. Це різниця цих границь, тож стрибком s функції f у точці a є значення:

$$ s = \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) - \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) $$

Точка розриву другого роду

Точкою розриву другого роду називаємо точку, у якій принаймні одна з односторонніх границь нескінченна або принаймні одна границя не існує. Як приклад покажемо функцію $f(x)=\frac{1}{x}$. Точка розриву — нуль:

Границя зліва в точці нуль — мінус нескінченність, а границя справа в точці нуль — плюс нескінченність. Обидві границі нескінченні, тож це точка розриву другого роду. Такий розрив жодним простим способом усунути не можна.

Неперервність на проміжку

Ми вже означили неперервність у точці, але не означили неперервність на якомусь проміжку. Отже: функція неперервна на проміжку I, якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку. Важливо чітко розрізняти відкритий і замкнений проміжок. Якщо проміжок відкритий з обох боків, функція не обов'язково неперервна в кінцевих точках — уже з принципу, що відкритий проміжок своїх кінцевих точок не містить. Якщо ж проміжок замкнений, функція в цих кінцевих точках має бути неперервною зліва чи справа.

Ми вже давно ніде не мали функції сигнум. Тож візьмімо функцію сигнум. На відкритому проміжку (0; +∞) функція неперервна. Функція сигнум справді має точку розриву в нулі, але завдяки відкритості проміжку нуль із перевірки виключено. На проміжку [0; +∞) функція вже не неперервна, бо не є неперервною справа в точці 0.

А чому вона не неперервна справа? Бо границя справа дорівнює одиниці, а значення функції дорівнює нулю. Значення не рівні, тож функція в цій точці не є неперервною справа.

Функцію називаємо кусково-неперервною, якщо вона містить скінченну кількість точок розриву першого роду (або усувний розрив). Отже, якщо вона містить нескінченно багато точок розриву, то кусково-неперервною не є, на це треба зважати.

Неперервність функції на практиці з'ясовуємо за допомогою похідної функції. Функція, яка в точці диференційовна, у цій точці також неперервна.