Похідна функції

Похідна — основне поняття диференціального числення, вона відіграє важливу роль, наприклад, під час дослідження функції. З одного боку, студенти її ненавидять, а з другого — похідну обчислить і належно натренована мавпа. У цій статті буде лише описано й пояснено означення похідної та пов'язані поняття. Розв'язані приклади знайдеш у сусідніх статтях: прості приклади на похідні і складніші приклади. Обернений до диференціювання процес — інтегрування.

Що таке похідна

Перш ніж дійти до означення похідної, з'ясуймо, що саме ми за допомогою похідної обчислюємо і чим це може бути корисне.

Похідна функції дає нам кутовий коефіцієнт дотичної. Це, мабуть, забагато складних слів одразу, тож почнімо спочатку. Простими словами, дотична — це пряма, яка торкається графіка рівно в одній точці. Це не точне означення, його можеш прочитати, наприклад, у Вікіпедії, але приблизно вистачить. Тепер подивися на наступний рисунок:

Чорна крива — графік функції y = x². Синя пряма — дотична до цієї функції в точці D(1; 1), позначеній червоним. Зеленим позначено кут α, який дотична утворює з віссю Ox — точніше, з додатною піввіссю Ox. Тепер означимо поняття кутового коефіцієнта дотичної. На цьому рисунку кутовий коефіцієнт дотичної — це тангенс кута альфа. Тангенс — це класична тригонометрична функція, завдяки якій можна, наприклад, обчислювати кути й довжини сторін у трикутнику. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної — це тангенс кута, який ця дотична утворює з додатною піввіссю Ox. І цей кутовий коефіцієнт ми отримуємо саме за допомогою похідних.

Далі розрізняємо поняття похідної функції в точці та похідної функції. Похідна функції в точці — це саме кутовий коефіцієнт дотичної в цій точці. Похідна функції — це вже інша функція, яка задає кутові коефіцієнти для довільного аргументу x. Приклад буде далі.

Мотивація

Отже, за допомогою похідної ми вміємо обчислювати кутові коефіцієнти дотичних. Навіщо це може бути потрібно? Подивися на наступний рисунок:

На рисунку знову функція y = x² і чотири позначені дотичні: дві зелені й дві сині. Зверни увагу, що функція y = x² на проміжку (−∞; 0) спадна, а на проміжку (0; +∞) зростає. Але що водночас можна сказати про їхні дотичні, точніше, про кут, який вони утворюють з додатною піввіссю? Сині дотичні, тобто дотичні, що проходять через точки проміжку, на якому функція зростає, утворюють з віссю кут, менший за 90 градусів. А зелені дотичні утворюють з віссю кут, більший за 90 градусів. Як це позначиться на кутових коефіцієнтах дотичних?

Для цього потрібно знати поведінку функції тангенс. З наступного графіка дізнаємося, що коли кут менший за 90 градусів, то значення тангенса додатне (синя виділена частина); натомість коли кут більший за 90 градусів, але менший за 180 градусів (тобто менший за π радіан), то значення тангенса від'ємне. Який із цього можна зробити висновок? Якщо кутовий коефіцієнт дотичної в цій точці (не забувай, що кутовий коефіцієнт — це саме тангенс кута) додатний, то функція в цій точці зростає, а якщо від'ємний — спадає.

Означення

Перш ніж дійти до самого означення похідної, нам доведеться пройти довгий шлях. І для цього знадобиться границя функції. Якщо границі тобі ще незнайомі, повернися до них або просто перейди до формул, подальша розповідь, мабуть, не для тебе.

Перш ніж перейти до кутового коефіцієнта самої дотичної, зупинімося на кутовому коефіцієнті січної, що простіше. Січна — це пряма, яка перетинає графік у двох точках. Спробуймо вивести, як ми обчислили б цей кутовий коефіцієнт. Подивися на рисунок:

Там зображено графік функції x² + 1 і січну s, яка перетинає графік у двох точках (0,5; 1,25) і (2; 5). Ці точки виділено синім. Оскільки нас не дуже цікавлять конкретні значення, на графіку їх позначено в загальному вигляді як a і b та f(a) і f(b). При цьому f(a) — значення функції f у точці x = a. Наприклад, значення нашої функції x² + 1 у точці x = 2 дорівнює 2² + 1 = 5.

Тепер потрібно вивести, як обчислити кут, позначений як альфа, тобто кут, який січна утворює з віссю Ox. Спершу трохи змінимо рисунок, щоб отримати якийсь трикутник, з яким нам буде легше працювати.

Що ми зробили? З'єднали відрізком точки, у яких січна перетинала графік функції y = x² + 1, і добудували їх до прямокутного трикутника ABC. Чим це нам допомогло? Кут, позначений як β, має таку саму величину, як і кут α (це відповідні кути). При цьому довжини сторін AB і BC ми знаємо. Маємо |AB| = b − a (це просто відстань точки b від точки a). Аналогічно довжина |BC| = f(b)−f(a). Як тепер обчислити величину кута β, тобто α?

Потрібно знати, як обчислюється тангенс. Тангенс — це відношення протилежного катета до прилеглого, тобто тангенс кута альфа (бета) дорівнює відношенню довжини сторони BC до довжини сторони AB. Запишемо це:

$$\operatorname{tg}(\beta)=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Оскільки кутовий коефіцієнт — це тангенс кута, цією формулою ми обчислили кутовий коефіцієнт січної. Але чим це допоможе, якщо ми хочемо обчислити кутовий коефіцієнт дотичної? Уяви, що ми наближаємо точки A і C одна до одної, доки вони не зіллються. Наближення показано на рисунку:

Чим більше ми наближаємо верхню точку перетину до нижньої, тим ближче січна до того, щоб стати дотичною. Початкова січна/пряма CA була від дотичної далеко. Коли ми наблизимо точку C до точки A, отримаємо, наприклад, січну C₁A, яка вже більше схожа на дотичну. Січна C₂A схожа ще більше тощо.

Коли січна стає дотичною? У мить, коли обидві точки перетину зливаються в одну, тобто коли для якоїсь точки C_n виконується C_n = A. У цю мить із січної ми отримали дотичну, чого й прагнули. Питання в тому, як обчислити кутовий коефіцієнт, адже ми не можемо просто відняти ці дві точки, бо вони однакові:

$$\operatorname{tg}(\beta)=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac00.$$

Це не спрацює, так обчислювати не можна. Недарма ми точки лише наближали одну до одної. Нам знадобиться границя. Тепер ми хочемо обчислити кутовий коефіцієнт дотичної в заданій точці (a; f(a)) і маємо в розпорядженні кутові коефіцієнти всіх можливих січних (їх ми вже вміємо обчислювати). Отже, будемо поступово обчислювати кутові коефіцієнти січних, які наближатимемо так, щоб утворилася дотична. Тобто наближатимемо b до a. Ми не можемо наблизити точки так, щоб вони збіглися, але можемо наблизити їх так, щоб їхня різниця в границі прямувала до нуля. Ось і границя! Отже, наближатимемо b до a, доки в границі вони не стануть рівними. Тобто обчислимо границю, коли b прямує до a. Ось і все, формула має такий вигляд:

$$\operatorname{tg}(\alpha)=\lim_{b\rightarrow a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Цю границю називаємо похідною функції f(x) у точці x = a. Нагадую, що кут α дорівнює куту β. Зазвичай ми не використовуємо змінні a і b, а шукаємо похідну в точці x₀ і наближаємо до неї точку x. Тоді можемо записати:

$$\operatorname{tg}(\alpha)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Поки що ми, як і в статті про неперервність функції, означили похідну в одній точці. Якщо маємо функцію f(x), яка диференційовна на відкритому інтервалі I, то значення цієї похідної задають функцію $f^\prime(x)$, яку називаємо похідною функції.

Похідну записуємо за допомогою штриха у верхньому індексі, приблизно так:

$$(x^2)^\prime=2x,\qquad f^\prime(x)=,\ldots,\qquad f^\prime(x_0)=,\ldots$$

Можна зустріти й іншу форму запису за допомогою dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^\prime(x)$$

У формулі, яку ми щойно використали, тангенс можна замінити позначенням похідної:

$$f^\prime(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Так само за допомогою односторонніх границь можна означити односторонню похідну справа чи зліва. Цим ми зараз не займатимемося, це не так важливо.

Дещо інше означення

Інше означення похідної функції в точці має такий вигляд:

$$f^\prime(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Як ми дійшли до такого означення? Достатньо трохи змінити рисунок, з якого ми виходили. Відстань від точки a до точки b можна виразити як h = b − a. Тоді точку b можна записати як a + h, бо h — це саме відстань b від a. Рисунок виглядав би так:

Унизу маємо точки a і a + h, а на осі y — f(a) і f(a + h). Тепер знову утворимо трикутник і обчислимо тангенс кута бета. Тільки з тією різницею, що довжину сторони AB ми вже маємо, це саме h.

Скінченна й нескінченна похідна

Похідні теж бувають скінченні й нескінченні, подібно до границь функцій. Що це означає? Похідна скінченна, якщо значення похідної в точці дорівнює якомусь дійсному числу. Похідна нескінченна, якщо дорівнює плюс або мінус нескінченності. Як це уявити геометрично? Коли кутовий коефіцієнт «нескінченний»? Почнімо з легшого питання: як виглядає дотична, кутовий коефіцієнт якої дорівнює якомусь великому числу? З графіка тангенса (див. вище) видно, що коли значення тангенса велике, кут наближається до 90 градусів (якщо ми рухаємося в проміжку (0; 180)).

З цього можна зробити висновок, що коли функція в точці має нескінченну похідну, то дотична утворює з віссю Ox прямий кут, тобто перпендикулярна до неї. Так і є. Як міг би виглядати графік такої функції і в якій точці дотична була б перпендикулярна до осі Ox? Наприклад, функція $y=\sqrt[3]{x}$:

Основні властивості

• Щоб функція мала в точці похідну, вона має бути визначена в якомусь епсилон-околі цієї точки. Якби такого околу не існувало, ми б не дійшли до границь, через які означається похідна.

• Єдиність існування (або неіснування) границь означає, що коли в точці існує похідна, то вона єдина. Жодна функція не має в одній точці кількох похідних. Або одну, або жодної.

• Подібно до односторонніх границь, якщо функція має в точці похідну, то похідні зліва і справа мають бути рівні.

• Іноді потрібно знати так звану другу похідну. Нічого складного: функцію диференціюємо один раз, а потім результат диференціюємо ще раз. Позначаємо це двома штрихами: f''(x) = (f'(x))'.

• Важлива властивість: якщо функція має в точці похідну, то в цій точці вона неперервна. Це знову випливає з властивостей границь. Зверни увагу, що навпаки не виконується. Якщо функція в точці неперервна, це не означає, що вона тут диференційовна. Типовий приклад — функція f(x) = |x|. Графік має злам, у цій точці не можна обчислити кутовий коефіцієнт дотичної. Спробуй обчислити похідну зліва і справа, вони будуть різні.

  

• За допомогою похідних можна обчислювати й деякі границі, для цього служить правило Лопіталя.

Посилання

У сусідній статті знайдеш список формул для роботи з похідними.

Можеш також переглянути розв'язані приклади похідних, а потім, за бажанням, складніші приклади на похідні.

Якщо потрібно швидко перевірити обчислення похідної, можна скористатися якимось математичним інструментом, наприклад Wolfram|Alpha. Достатньо ввести в тамтешнє поле «derive x^2+6x» (наприклад), і Wolfram обчислить похідні заданої функції.