Границя послідовності

Границя послідовності — це число, до якого дана послідовність наближається на нескінченності. Вона є своєрідним вступом до границі функції, яка має велике значення в математичному аналізі.

Короткий вступ до границь

Границя послідовності — це число, до якого невпинно наближається певна послідовність чисел (а може, зрештою, його й досягає). Найкраще це покаже рисунок, що зображує послідовність, задану формулою $a_n=\frac1n$:

На рисунку бачимо, що члени послідовності дедалі більше наближаються до нуля. Що більше n, то менше значення a_n і то ближче воно до нуля. Графік ніколи не торкнеться горизонтальної осі, бо рівність 1/n = 0 ніколи не виконається (де n — натуральне число). Проте варто з'ясувати, до якого числа наближається вся послідовність. Питання, отже, таке: якщо n невпинно збільшувати, до якого числа наближатиметься значення послідовності? Якщо n наближається до нескінченності, яке значення матиме член послідовності? Саме на це питання відповідають границі. Записуємо границю за допомогою позначення $\lim$. У нижньому індексі вказуємо, до якого числа наближається n; для послідовностей це завжди нескінченність. Увесь запис може виглядати, наприклад, так:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0.$$

Читаємо: «Границя послідовності один поділити на n при n, що прямує до нескінченності, дорівнює нулю». Ще кілька тривіальних прикладів. Яка границя послідовності a_n = n? Це проста послідовність, де a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 тощо. До якого числа наближатимуться члени послідовності на нескінченності? Що більше n, то більше a_n, тож границя дорівнює нескінченності.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty$$

Інтуїтивно ти, мабуть, здогадаєшся, що границя послідовності a_n = n² теж дорівнює нескінченності. Ця послідовність зростатиме ще швидше за попередню. А от послідовність $a_n=\frac{1}{2n}$ спадатиме до нуля ще швидше, ніж перша з наведених послідовностей.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}n^2=\infty,\quad\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n}=0$$

Означення скінченної границі послідовності

Настав час як слід дати означення границі послідовності.

Послідовність $\left\{a_n\in\mathbb{R}\right\}_{n=1}^\infty$ має скінченну границю a (збігається до границі a ∈ ℝ, є збіжною), якщо для кожного ε > 0 існує таке n₀∈ℕ, що для всіх n>n₀ виконується нерівність |a_n − a| < ε.

Вживані записи:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$$

$$a_n\rightarrow a\mbox{ при } n\rightarrow\infty$$

$$\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty\rightarrow a$$

Означення гарне, а тепер пояснімо його. Для цього нам знадобиться рисунок якоїсь послідовності, тож виберімо, наприклад, таку послідовність:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

І її графік:

З графіка добре видно, що послідовність збігається до п'ятірки, тобто границя цієї послідовності дорівнює п'яти. Перш ніж показувати означення границі на цій послідовності, додам до графіка трохи кольорів:

Ми вже знаємо, що границя цієї послідовності дорівнює п'яти. У першій частині означення йдеться про ε>0, тобто про якесь епсилон, більше за нуль. Епсилон тут задає окіл границі, окіл точки. Воно більше за нуль, бо окіл не може бути від'ємним чи нульовим. На рисунку цей окіл показано горизонтальними зеленими лініями біля осі y. Точка тут — значення п'ять, а окіл точки — це ті зелені лінії на осі y. Окіл як такий задано в обидва боки, і вгору, і вниз. Ця уявна смуга, обмежена зеленими горизонтальними лініями, нам зараз знадобиться. На рисунку ε = 1.

Наше завдання — знайти на нижній горизонтальній осі таке число n₀, яке поділить нижню вісь на дві частини. При цьому всі члени послідовності праворуч від числа n₀ мають лежати в цій зеленій смузі. Де лежать числа ліворуч від n₀, неважливо, і шукати найменше n₀, для якого означення виконується, не потрібно. На рисунку n₀ = 12.

Що насправді означає, що член послідовності лежить у зеленій смузі? Те, що він віддалений від границі (у нашому випадку від числа п'ять) щонайбільше на епсилон. І саме це стверджує означення: |a_n − a|<ε. Нагадую, що значення a — це границя, тож у нашому випадку a = 5. Спробуймо обчислити значення п'ятнадцятого елемента:

$$a_{15}=\frac{5\cdot15}{15+1}=4{,}6875$$

Тепер підставимо у співвідношення |a_n − a|<ε:

$$\begin{eqnarray} \left|a_n-a\right|&<&\epsilon\\ \left|4{,}6875-5\right|&<&1\\ 0{,}3125&<&1 \end{eqnarray}$$

Бачимо, що нерівність виконується. Ця точка задовольняє означення. Число 0,3125 — це відстань між п'ятнадцятим членом послідовності та границею послідовності. На рисунку цю відстань виділено коротким фіолетовим відрізком. Якби ми так перевірили всі числа, більші за n₀, то побачили б, що ця нерівність і далі виконується. Отже, число a = 5 задовольняє означення границі цієї послідовності.

В означенні, однак, є одна важлива річ. У ньому сказано, що для кожного ε>0 ми здатні знайти те число n₀. Тобто для довільно великого епсилон, але передусім для довільно малого епсилон. Хоч би яким малим (але все ж додатним) ми зробили епсилон, ми однаково маємо вміти знайти n₀.

Спробуймо тож зменшити епсилон до якогось меншого значення. Що станеться? Зелена смуга, у яку треба вміститися, звузиться. Але це зовсім нам не заважає: ми просто збільшимо значення n₀ — посунемо його праворуч. Звуження та зсув показано на такому рисунку:

Цей зсув чудово показує поведінку границі. Ми очікуємо від границі, що члени послідовності поступово наближатимуться до неї, що їхня відстань від границі невпинно зменшуватиметься. (Відстань від границі — це те, що ми щойно обчислювали, той фіолетовий відрізок на рисунку.) Якщо відстань невпинно зменшується і члени наближаються до границі, то колись вони мусять опинитися ближче до границі, ніж епсилон. І так ми знайшли своє значення n₀. Якщо ж, навпаки, вибрати епсилон більшим, можна вибрати й менше n₀:

На початку я згадував, що послідовність невпинно наближається до своєї границі, але ніколи її не торкається. Проте послідовність границі торкнутися може, вона навіть може набувати значення границі нескінченно багато разів. Наприклад, стала послідовність a_n = 1 у кожній точці має значення один, і границя в неї теж дорівнює одиниці.

Демонстрація того, що границі не існує

Спробуймо змінити означення послідовності так, щоб вона відповідала такому графіку: (сама формула зараз не важлива)

Послідовність поводиться так само, як у попередньому випадку, крім десятого, двадцятого, тридцятого і т. д. членів послідовності (припустімо, що ці члени завжди дорівнюють числу 3,5 — вони ані зростають, ані спадають). Ці члени якось випадають із ритму. На рисунку позначено два околи: епсилон один і епсилон два. Як бачимо, для ε₂ (того більшого епсилон-околу) ми можемо знайти таке n₀, щоб усі наступні члени лежали в зеленій смузі. Але коли зменшимо епсилон до ε₁, то такого n₀ уже не знайдемо — кожен десятий член лежатиме поза цим околом. Ця послідовність не мала б границі, що дорівнює п'яти (і не має границі взагалі).

Приклади інших границь

Прикладом послідовності, що не має жодної границі, є a_n = sin n (її зображено на наступному рисунку):

Бачимо, що послідовність не збігається до жодного числа, її члени невпинно то спадають, то зростають. Таку послідовність називаємо розбіжною.

Досі ми розглядали збіжні послідовності, які збігалися до своєї границі з одного боку. Але послідовність може наближатися до границі й з обох боків, як показує ця послідовність

$$a_n=(-1)^n\cdot\frac{1}{n}$$

Ця послідовність теж збігатиметься до нуля.

Нескінченна границя

Досі ми говорили про скінченну границю, тобто про випадок, коли послідовність наближається до якогось дійсного числа. Але що з такою послідовністю, як a_n = n? До якого дійсного числа вона наближається? Подивися на графік:

Вочевидь, вона не наближається до жодного дійсного числа, а зростає понад усі межі, зростає до нескінченності. Така послідовність має границю, що дорівнює нескінченності, і таку границю називаємо нескінченною. Означення нескінченної границі просте. Що означає, що послідовність зростає до нескінченності? Те, що коли ми виберемо будь-яке дійсне число A, як завгодно велике, то завжди знайдемо такий індекс n₀, що всі члени послідовності, які стоять за цим членом, більші за це число A. Одним словом, якщо ми вибираємо межу A, то від певного місця послідовності всі члени більші за це A. Математично це записують так:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty\Leftrightarrow\forall A\in\mathbb{R}\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\in\mathbb{N}: n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

На початку стоїть «для всіх A», тобто для всіх меж, які ми б хотіли вибрати. Далі йде квантор існування, який каже, що має існувати індекс n₀, для якого виконується: якщо n більше за це n₀, то значення члена a_n більше за межу, яку ми вибрали спочатку, тобто за A. Подібне означення є й для нескінченної границі, що дорівнює мінус нескінченності.

Методи обчислення границь

Ми вже знаємо кілька основних методів, як обчислити границю послідовності. Різні видозміни послідовності a_n = n, наприклад

$$a_n=2n,\quad a_n=\frac{n}{2}$$

мають границю плюс нескінченність. І навпаки, послідовності типу

$$a_n=\frac{1}{n},\quad a_n=\frac{15}{4n}$$

мають границю, що дорівнює нулю. Тепер наведемо деякі основні співвідношення для дій з послідовностями. Припустімо, що виконується

$$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=a,\quad\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=b,\quad a,b\in\mathbb{R}.$$

Тоді також виконуються такі співвідношення:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(c_1a_n+c_2b_n)=c_1a+c_2b\quad\forall c_1,c_2\in\mathbb{R}$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=a\cdot b;\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}; b\ne 0.$$

Першу формулу можна застосувати в такому прикладі:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n}+5)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}5=0+5=5$$

А що робити, коли маємо такий приклад?

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+1}{2n}$$

Тут виникає проблема: вираз у чисельнику на нескінченності прямує до нескінченності, вираз у знаменнику теж прямує до нескінченності. Але якщо і в чисельнику, і в знаменнику нескінченність, то ми отримуємо так звану невизначеність. Одним словом, ми не можемо визначити, чому дорівнює цей вираз:

$$\frac{\infty}{\infty}$$

Наше завдання — перетворити вираз так, щоб ця невизначеність не виникла. Якщо вдасться прибрати зі знаменника або з чисельника змінну n, ми вже можемо отримати вираз, у якому буде лише одна нескінченність.

Спершу перетворимо вираз: кожен член поділимо на змінну n, тобто помножимо чисельник і знаменник на 1/n.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+1}{2n}=\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{3n+1}{2n}\cdot\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Бачимо, що в знаменнику вже немає змінної n, і тому вираз у знаменнику на нескінченності не прямує до нескінченності. За попередніми формулами ми можемо розкласти всю границю на кілька менших: окремо обчислимо границі всіх виразів, а результати додамо й поділимо.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}$$

Так ми опинилися в ситуації, коли вже вміємо обчислити всі границі. Зробімо це.

$$\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Границя цієї послідовності дорівнює числу 1,5.

Спробуймо ще один приклад:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Тут можна або застосувати той самий метод, що й минулого разу, або спробувати міркувати логічно. Функція n² тягтиме послідовність угору набагато швидше, ніж функція n стягуватиме її вниз. Функція n² набагато сильніша, тому границя всього виразу дорівнюватиме нескінченності. Спробуймо це й обчислити. Знову поділимо кожен вираз на n:

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{2n}&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ &=&\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3n+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}\\ &=&\frac{\infty+0}{2}=\infty \end{eqnarray}$$

Ще кілька слів про те, чому ми ділили на n, а не, скажімо, на n², яке теж є у виразі. Наша мета, як відомо, — позбутися якоїсь змінної. Але ми знаємо, що значення знаменника не може бути нульовим, бо тоді ми знову отримали б невизначеність. Чисельник і знаменник множимо на такий вираз, щоб у знаменнику не з'явився нуль. У цьому випадку це означало поділити їх на n у найбільшому степені, що є в знаменнику.

Можна сказати, що значенням границі керуватиме функція, яка зростає швидше за порядком. Але стережися знаків: навіть під час дій з нескінченністю треба зберігати знак:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{-2n}=\ldots=\frac{\infty+0}{-2}=-\infty$$