Інтеграл

Інтегрування функції — це процес, обернений до диференціювання функції.

Первісна

Почнімо з легкої задачі. Нехай f(x) = 2x. Знайдімо таку функцію F, яка після диференціювання дасть функцію f. Формально: шукаємо функцію F, для якої $F^{\prime}=f$.

З основних формул для обчислення похідних ми знаємо, що це функція F(x) = x². Похідна функції x² дорівнює саме 2x. Постає питання, чи вона єдина, що задовольняє цю умову.

Відповідь: ні. Якщо до функції x² додати будь-яку дійсну сталу, то після диференціювання знову отримаємо функцію 2x, бо похідна сталої дорівнює нулю. Будь-яку функцію вигляду x² + C, де C — дійсна стала, можна вважати шуканою функцією F.

Цю задачу можна узагальнити. Нехай задано дійсну функцію f; знайдімо таку функцію F, для якої $F^{\prime}(x) = f(x)$ для всіх x з D(f) або з якогось проміжку області визначення. Така функція не обов'язково єдина, але, з іншого боку, вона може й узагалі не існувати.

Цю функцію F називаємо первісною функції f. Записуємо:

$$ F(x) = \int f(x) \mbox{ d}x $$

Функцію f називають підінтегральною функцією, а процес пошуку первісної — інтегруванням. Вираз dx показує, за якою змінною ми інтегруємо. Якщо запишемо приклад так:

$$ \int 4x^3 \mbox{ d}x, $$

то хочемо знайти первісну функції 4x³, інтегруючи за змінною x. Результатом може бути функція x⁴, яка після диференціювання дає саме 4x³. Звісно, до цієї функції можна додати довільну дійсну сталу.

Можна довести, що первісна або не існує, або завжди має вигляд F(x)+C, де C — деяка дійсна стала, і тоді їх нескінченно багато, адже дійсних сталих нескінченно багато. Тому, якщо ми знайшли одну функцію F(x), ми можемо отримати всі первісні. Водночас жодна інша функція, яку цим способом не отримати, вже не є первісною шуканої функції.

Ще кілька слів про вираз dx. Він виглядає дуже загадково, але насправді лише позначає, за якою змінною ми інтегруємо. Наприклад, якщо маємо інтеграл

$$ \int a\cdot b+c \mbox{ d}b, $$

це означає, що ми інтегруємо за змінною b, а решта букв, a і c, поводяться як сталі. Тобто вони поводяться так само, ніби на їхньому місці стояли числа.

Інтегрування елементарних функцій

Формули для обчислення первісних деяких елементарних функцій легко вивести самотужки. Протягом усього розділу вважаймо, що C ∈ ℝ.

Почнімо з функції f(x) = 0, нульової функції. Яка функція після диференціювання дає нуль? Будь-яка, що містить лише сталу:

$$ \int 0 \mbox{ d}x = C $$

Далі функція f(x) = 1. Оскільки $x^{\prime}=1$, інтеграл від одиниці дорівнює

$$ \int 1 \mbox{ d}x = x + C $$

Наступна функція — f(x) = x. Яку функцію треба продиференціювати, щоб отримати x? Якщо продиференціюємо x², то отримаємо 2x. Це вже майже те, що потрібно. Досить поділити на два. Отже, якщо продиференціювати (x²)/2, отримаємо саме x.

$$ \int x \mbox{ d}x = \frac{x^2}{2}+C $$

Узагальнивши це на функцію xⁿ, де n ∈ ℝ, отримаємо формулу:

$$ \int x^n \mbox{ d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C $$

Зверни увагу, що ця формула не справджується для n = −1, бо довелося б ділити на нуль, а так робити не можна. Отже, для n = −1 маємо функцію f(x) = x⁻¹, тобто 1/x. Яку функцію треба продиференціювати, щоб отримати 1/x? Це логарифм.

$$ \int \frac1x \mbox{ d}x=\ln x+C $$

Проблема в тому, що логарифм визначений лише для додатних дійсних чисел, тож ця формула не справджується для всіх x з D(f). Проте вона справджується на проміжку (0; +∞). На проміжку (−∞; 0) достатньо лише змінити знак аргумента логарифма: ln (−x). Об'єднавши ці випадки, можемо записати

$$ \int \frac1x \mbox{ d}x=\ln |x|+C $$

Ця формула справджується для всіх x ∈ D(f). Інші інтеграли, наприклад від тригонометричних функцій, наведено в такій таблиці:

$$\begin{eqnarray} \int a^x \mbox{ d}x &=& \frac{a^x}{\ln a}+C\quad\mbox{для } a>0, a\ne1\\ \int \sin x \mbox{ d}x &=& -\cos x+C\\ \int \cos x \mbox{ d}x &=& \sin x +C \end{eqnarray}$$

Інтеграл суми

Обчислити похідну функції здебільшого досить просто і, як кажуть, з цим упорається навіть дресирована мавпа, бо зазвичай достатньо діяти прямо за формулами. З інтегралами ситуація інша. Способи обчислення інтегралів значно складніші, тому знайти інтеграл набагато важче, ніж обчислити похідну. Це пов'язано переважно з тим, що для інтеграла суми формула є, а для інтеграла добутку — ні.

Спробуймо обчислити такий інтеграл:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x $$

Як його обчислити? Потрібна функція, що після диференціювання дає x, і ще одна, що дає 1. З формул ми вже знаємо, що це функції (x²)/2 і x. Якщо їх додати, отримаємо f(x) = (x²)/2 + x. Після диференціювання цієї функції дістанемо x + 1. Отже, результат:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x = \frac{x^2}{2} + x + C $$

Під час обчислення ми скористалися однією властивістю: інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів. Тобто

$$ \int f(x) + g(x) \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x + \int g(x) \mbox{ d}x $$

Те саме стосується й різниці:

$$ \int f(x) - g(x) \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x - \int g(x) \mbox{ d}x $$

Тому попередній приклад ми могли розписати так:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x = \int x \mbox{ d}x+\int 1 \mbox{ d}x $$

Винесення сталої

Подібне твердження справджується і для винесення сталої за знак інтеграла. Якщо маємо інтеграл вигляду

$$ \int a\cdot f(x) \mbox{ d}x, $$

де a — деяка дійсна стала, то цю сталу можна винести за знак інтеграла:

$$ \int a\cdot f(x) \mbox{ d}x = a\cdot\int f(x) \mbox{ d}x $$

Приклад

Обчисли інтеграл:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x $$

Першим кроком розіб'ємо його на три інтеграли:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x = \int x^2 \mbox{ d}x+\int 6x \mbox{ d}x+\int 42 \mbox{ d}x $$

Інтеграли розв'язуватимемо по черзі. Перший можна знайти прямо за формулою для степенів xⁿ:

$$ \int x^2 \mbox{ d}x=\frac{x^3}{3}+C $$

У другому інтегралі спершу винесемо шістку:

$$ \int 6x \mbox{ d}x = 6\cdot\int x \mbox{ d}x $$

Інтеграл від x — знову табличне значення, він дорівнює (x²)/2. Отже, отримуємо:

$$ 6\cdot\int x \mbox{ d}x = 6\cdot\left(\frac{x^2}{2}\right) = 3x^2+C $$

В останньому інтегралі також спершу винесемо 42:

$$ \int 42 \mbox{ d}x = 42\cdot\int 1 \mbox{ d}x $$

І це знову табличне значення:

$$ 42\cdot\int 1 \mbox{ d}x = 42x+C $$

Ці окремі інтеграли додаємо — і маємо результат:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x = \frac{x^3}{3}+3x^2+42x+C $$

Ще одне зауваження: у кожному окремому інтегралі ми отримали сталу C, тож під час додавання в результаті слід було б записати +3C замість +C. Проте C — довільна дійсна стала, тому 3C теж дорівнюватиме якомусь дійсному числу. Можна було б в окремих інтегралах замінити C на C₁, C₂, C₃ і потім сказати, що C = C₁ + C₂ + C₃.