Вступні приклади на похідні

У цій статті ми спершу розглянемо кілька корисних формул для роботи з похідними, а потім спробуємо знайти похідні різних функцій — простих і складних. Якщо тобі потрібні не розв'язані приклади, а пояснення означення похідної, перейди до статті похідна функції.

Похідні многочленів

Спершу згадаємо кілька формул, які знадобляться під час обчислення похідних функцій, що мають вигляд многочлена. Зліва записано елементарну функцію, яку хочемо продиференціювати, а справа — функцію, яка вийде після диференціювання. Для ясності: c — стала (тож уже в першому рядку маємо сталу функцію), а диференціюємо за x.

$$\begin{eqnarray} c^\prime&=&0\\ x^\prime&=&1\\ (x^c)^\prime&=&c\cdot x^{c-1} \end{eqnarray}$$

Кілька конкретних прикладів:

$$f(x)=5$$

Це стала функція, тож застосовуємо першу формулу й отримуємо:

$$f^\prime(x)=0.$$

Лінійна функція f(x) = x за другою формулою має похідну

$$f^\prime(x)=1,$$

і тут більше нема чого досліджувати. Тому спробуймо знайти похідну функції

$$f(x)=x^5.$$

Застосовуємо останню формулу, де замість c підставляємо показник степеня, тобто c = 5.

$$f^\prime(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Формула працює і для від'ємного показника, тож якщо треба продиференціювати функцію

$$f(x)=x^{-7},$$

отримуємо:

$$f^\prime(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Для подальших вправ нам знадобляться формули для суми та добутку функцій. А якщо ми захочемо з похідної знову отримати початкову функцію, скористаємося інтегралами.

Похідна суми

Якщо треба знайти похідну функції, у якій є вирази в сумі, то просто обчислюємо похідні окремих доданків і додаємо проміжні результати. Записуємо це так:

$$(f_1(x)+f_2(x))^\prime=f_1^\prime(x)+f_2^\prime(x)$$

Простий приклад: нехай f(x) = x + 5. Похідна цієї функції дорівнює:

$$f^\prime(x)=x^\prime+5^\prime=1+0=1.$$

Функцію ми розклали на дві функції:

$$\begin{eqnarray} f_1(x)&=&x\\ f_2(x)&=&5 \end{eqnarray}$$

і просто підставили у формулу. Тобто обчислили похідні функцій f₁ і f₂ та додали результати. Для віднімання все працює так само. Складніший приклад:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Знову диференціюємо окремо три доданки й залишаємо їх у сумі:

$$f^\prime(x)=(x^3)^\prime+x^\prime-8^\prime=3x^2+1+0$$

Похідна добутку

З добутком, на жаль, усе не так просто, як зі звичайним додаванням: для добутку двох функцій потрібна трохи складніша формула:

$$(f(x)\cdot g(x))^\prime=f^\prime(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^\prime (x)$$

Тривіальна функція, у якій є множення, — наприклад,

$$s(x)=5\cdot x^2$$

У формулі для добутку є дві функції. З цієї однієї функції s(x) їх отримуємо так: f(x) = 5 і g(x) = x². Тепер лише підставляємо:

$$s^\prime(x)=5^\prime\cdot x^2+5\cdot (x^2)^\prime=0\cdot x^2+5\cdot2x=10x$$

Бачимо, що коли функція має вигляд

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

то після диференціювання отримуємо

$$(a\cdot x^c)^\prime=a\cdot (x^c)^\prime=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Це правило можна ще узагальнити: замість степеня підставити довільну функцію. Отже, для будь-якої функції f(x) виконується

$$(a\cdot f(x))^\prime=a\cdot f^\prime(x).$$

Для прикладу спробуймо продиференціювати таку функцію:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

На початку диференціювання спершу застосовуємо правило суми:

$$f^\prime(x)=(5x^3)^\prime-(7x^2)^\prime+10^\prime=$$

Вирази в добутках розписуємо за останньою згаданою формулою:

$$=5(x^3)^\prime-7(x^2)^\prime+10^\prime=$$

Вирази в дужках диференціюємо за правилом для похідної x^c.

$$=5\cdot3x^2-7\cdot2x+0=$$

І нарешті множимо коефіцієнти:

$$=15x^2-14x.$$

Похідна частки

Похідна частки трохи складніша за похідну добутку. Формула:

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime=\frac{f^\prime(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g^\prime(x)}{g^2(x)}$$

Але загалом хід розв'язання такий самий, як і для добутку. Тож одразу приклад:

$$\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)^\prime=$$

Чисельник дробу — це функція f(x), знаменник — функція g(x). Тепер просто підставляємо у формулу:

$$=\frac{(x^2+3x+1)^\prime(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1)^\prime}{(2x-1)^2}=$$

У знаменнику маємо знаменник, піднесений до квадрата, а в чисельнику — розписаний дріб за формулою. Тепер диференціюємо першу й останню дужки. Тут знову працює правило суми, тож я його пропущу й одразу запишу результат:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1)^2}=\ldots$$

Цей вираз можна ще спростити, але в цьому розділі це вже не головне.

Похідні елементарних функцій

Тепер без виведення наведемо деякі формули для обчислення похідних звичайних функцій.

Показникові функції та логарифми:

$$\begin{eqnarray} (c^x)^\prime&=&c^x\ln c;\quad c>0\\ (e^x)^\prime&=&e^x\\ (\log_ax)^\prime&=&\frac{1}{x\cdot \ln a};\quad a>0\wedge a\ne1\\ (\ln x)^\prime&=&\frac{1}{x} \end{eqnarray}$$

Зверни увагу, що похідна функції e^x — знову e^x. Це не помилка, а приємна властивість, яка стала основою багатьох і багатьох жартів про похідні.

Тригонометричні функції:

$$\begin{eqnarray} (\sin x)^\prime&=&\cos x\\ (\cos x)^\prime&=&-\sin x\\ (\operatorname{tg} x)^\prime&=&\frac{1}{\cos^2x}\\ (\operatorname{ctg} x)^\prime&=&-\frac{1}{\sin^2x} \end{eqnarray}$$

Простий приклад:

$$(3\sin x + 2\ln x)^\prime=$$

Обидва вирази стоять у сумі, тож досить додати похідні цих двох виразів. Кожен вираз на початку має сталу, що множить функцію після неї, — тепер ми знаємо, що достатньо продиференціювати функцію, а сталу залишити без змін. Так і зробимо:

$$=3(\sin x)^\prime+2(\ln x)^\prime=$$

Це вже табличні значення:

$$=3\cos x+2\frac1x=3\cos x+\frac2x.$$

Похідна складеної функції

З властивостей похідної і з її застосування під час дослідження функції ми знаємо, що за певних умов можна мати дві диференційовні функції, а їхня композиція знову буде диференційовною функцією. Покажемо, як обчислювати похідну такої складеної функції.

Похідна складеної функції — мабуть, найскладніше поняття серед цих основних похідних. Функції можна складати, тобто підставляти. Що таке складена функція, можна докладніше прочитати в статтях Що таке функція або Область визначення функції. Грубо кажучи, це означає, що як аргумент однієї функції ми передаємо іншу функцію. Символічно це записується так: h(g(x)). Конкретною функцією може бути, наприклад,

$$f(x)=\sin(2x).$$

Які дві функції тут є? Синус і вкладена функція 2x. До цієї функції f не можна просто застосувати загальну формулу для sin x, бо вона очікує, що в аргументі буде x, а не 2x. Обчислення похідної складеної функції відбувається так:

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&h(g(x))\\ f^\prime(x)&=&h^\prime (g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$

Тобто диференціюємо зовнішню функцію, залишаємо в ній той самий аргумент і множимо результат на похідну внутрішньої функції. Для прикладу із синусом це означає:

$$(\sin(2x))^\prime=\sin^\prime(2x)\cdot(2x)^\prime=$$

Штрих лише над синусом означає, що ми диференціюємо тільки сам синус, а не весь вираз, як у лівій частині рівності. Похідна синуса — косинус, тож замість синуса просто пишемо косинус. А похідна 2x дорівнює 2:

$$=\cos(2x)\cdot2=2\cos(2x).$$

Ще один приклад, трохи складніший.

$$(\cos(\ln x^2))^\prime=$$

Тут є ще одна вкладена функція. Зовнішня функція — косинус, середня — логарифм, а найглибша — степінь x². Але діємо знову за формулою. Розпишемо:

$$=\cos^\prime(\ln x^2)\cdot(\ln x^2)^\prime=$$

Диференціюємо лише косинус, аргумент косинуса залишаємо як є, тобто залишаємо весь логарифм. Увесь цей вираз ще множимо на похідну аргумента, тобто на похідну логарифма. Продиференціюємо косинус і маємо:

$$=-\sin(\ln x^2)\cdot(\ln x^2)^\prime=$$

Вираз справа не змінився, ми лише продиференціювали косинус. Тепер беремося до похідної логарифма. Це знову складена функція, тож рекурсивно застосовуємо формулу для складеної функції. Лівий вираз просто переписуємо:

$$=-\sin(\ln x^2)\cdot\ln^\prime x^2\cdot(x^2)^\prime=$$

Диференціюємо логарифм, а аргумент залишаємо тим самим, тобто x². Але весь вираз ще множимо на похідну аргумента, тобто на похідну від x². Похідна логарифма — дріб 1/x, де замість x підставляємо наш аргумент x², а похідна x² дорівнює 2x.

$$=-\sin(\ln x^2)\cdot\frac{1}{x^2}2x=-\sin(\ln x^2)\cdot\frac{2}{x}=-\frac{2\sin(\ln x^2)}{x}.$$