Властивості функції

Функція — це правило, яке кожному числу x з області визначення M ставить у відповідність рівно одне число y з області значень N. Функцію зазвичай записують у вигляді y = f(x), або можна задати її явно: f: y = x, де змінна x є аргументом функції.

Область визначення та область значень

Для кожної функції ми маємо визначити її область визначення — множину всіх допустимих значень аргументу x, тобто всіх значень, яких може набувати змінна x. Область визначення функції f позначаємо D(f).

Простий приклад: f: y = x — тут областю визначення є вся множина дійсних чисел D(f) = ℝ. Інший приклад: $f: y = \frac{1}{x}$ — у цьому випадку областю визначення є множина дійсних чисел, але цього разу без нуля, бо на нуль ділити не можна, вираз тоді не мав би сенсу: D(f) = ℝ ∖ {0}.

Область значень — це, відповідно, множина всіх допустимих y, тобто множина всіх елементів, на які може вказувати функція f. Знову простий приклад: маємо функцію f: y = x. Тут областю значень є множина ℝ, бо y може набувати будь-якого значення з цієї множини. Візьмімо, проте, іншу функцію f: y = |x| (модуль). Тут область значень уже дорівнюватиме проміжку [0; +∞), бо ніколи не станеться, що y дорівнюватиме, наприклад, мінус п'яти, адже за означенням модуля це неможливо.

Якщо триматися поняття відображення з множини A в множину B, то зауваж, що множина A є областю визначення, а множина B — це множина, в яку функція відображає; область значень є її підмножиною.

Монотонність функції

Монотонність функції — це властивість, яка визначає, чи є функція на заданому проміжку зростаючою, спадною, незростаючою, неспадною, сталою або жодною з наведених.

Найкраще цю властивість видно з графіка: якщо тобі здається, що графік іде вниз, це спадна функція, а якщо графік іде вгору, це зростаюча функція. Це зовсім просто :-). Означення виглядали б так: маємо функцію f і нехай x₁, x₂ ∈ D(f). Тоді кажемо, що

• функція f зростаюча, якщо з x₁ < x₂ випливає f(x₁) < f(x₂).
• функція f спадна, якщо з x₁ < x₂ випливає f(x₁) > f(x₂). (Означення виглядає так само, але в першому випадку біля значень функції стоїть <, а в другому >)

Подивися на графік зростаючої функції f(x) = ln(x):

Бачимо, що коли вибрати такі x₁, x₂, що x₁ < x₂, то також виконується f(x₁) < f(x₂). Тепер подивися на інший графік, цього разу функції $f(x)=\frac{1}{x}$, яка спадна, наприклад, на проміжку (0; +∞):

Тут бачимо, що коли x₁ < x₂, то для їхніх значень функції навпаки виконується f(x₁) > f(x₂). Хоча x₁ менше за x₂, воно «дає» більше значення функції.

Наведемо ще решту означень:

• Функція f неспадна, якщо з x₁ < x₂ випливає f(x₁) ≤ f(x₂). (Означення схоже на означення зростаючої функції, лише ми допускаємо, щоб функція на певній ділянці мала стале значення)
• Функція f незростаюча, якщо з x₁ < x₂ випливає f(x₁) ≥ f(x₂).
• Функція f стала, якщо її областю значень є одноелементна множина, тобто якщо для будь-яких двох x₁, x₂ виконується f(x₁) = f(x₂).

Прикладом незростаючої функції є функція f(x) = |x|−x:

Зверни увагу, що на проміжку (−∞; 0) функція спадає, а на решті проміжку має стале значення (нуль). На всій області визначення вона, отже, незростаюча.

Парна й непарна функції

Деякі функції за певних умов можуть бути парними або непарними. Найпростіше знати графік функції, по ньому це видно найшвидше. Адже парна функція симетрична відносно осі Oy, а непарна — відносно початку координат (0; 0). Прикладом парної функції може бути y = x², а непарної, наприклад, функція y = 2x. Означення виглядали б так — функція f

• парна, якщо для всіх x ∈ D(f) виконується f(x) = f(−x),
• непарна, якщо для всіх x ∈ D(f) виконується −f(x) = f(−x).

Про парні й непарні функції є окрема стаття Парна й непарна функції.

Оборотна функція

Оборотну функцію можна розпізнати за тим, що всі її значення унікальні, жодне значення функції не повторюється. Означення:

Функція f оборотна, якщо для всіх x₁, x₂ ∈ D(f) виконується

$$ x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2) $$

Якщо вибрати два різні x з області визначення функції, то їхні значення функції завжди мають бути різні.

Графічно це, як завжди, розпізнати зовсім просто. Якщо провести через графік пряму, паралельну осі Ox, вона має перетинати графік щонайбільше в одній точці. Прикладом оборотної функції є лінійна функція y = 3x. Яку б горизонтальну пряму не провести, вона завжди перетне графік рівно в одній точці. Протилежністю є, скажімо, функція синус, графік якої утворює хвилі, тож якщо провести пряму, паралельну осі Ox, що перетинає вісь Oy в точці $\frac12$, знайдемо нескінченно багато точок перетину з графіком, а отже, ця функція не оборотна.

Обмежена функція

Функції можуть бути обмежені зверху, обмежені знизу або обмежені і зверху, і знизу — таку функцію просто називаємо обмеженою. Функція f обмежена зверху, якщо існує таке дійсне число A, яке більше за всі значення функції f. Аналогічно для функції, обмеженої знизу. Отже, означення:

• Функція f обмежена зверху, якщо існує A ∈ ℝ таке, що для всіх x ∈ D(f) виконується A > f(x).
• Функція f обмежена знизу, якщо існує A ∈ ℝ таке, що для всіх x ∈ D(f) виконується A < f(x).

Графічно це можна уявити так: ми шукаємо пряму, паралельну осі Ox (тобто горизонтальну пряму), яка розташована над усім графіком функції або під ним.

На рисунку маємо графік функції f(x) = x⁴, яка обмежена знизу. Зверни увагу, що зовсім не обов'язково шукати таке A, яке «найближче» до графіка, достатньо розмістити пряму де завгодно під графіком.

Мінімум і максимум

Функція f має в точці M області визначення максимум, якщо в цій точці M найбільше значення з усіх значень функції. Аналогічно для мінімуму. Означення:

• Функція f має в точці M ∈ D(f) глобальний максимум, якщо для всіх x ∈ D(f) виконується f(x) ≤ f(M) — інакше кажучи, значення функції найбільше в точці M. Якщо максимум єдиний, називаємо його строгим максимумом.
• Функція f має в точці m ∈ D(f) глобальний мінімум, якщо для всіх x ∈ D(f) виконується f(x) ≥ f(m) — значення функції найменше в точці m.

На графіку максимум і мінімум функції, мабуть, знайти досить легко: просто дивишся, де функція розташована найнижче чи найвище. Проте функція, звісно, може не мати ні мінімуму, ні максимуму, або мати лише мінімум чи лише максимум, так само функція може мати лише локальні екстремуми, але на всій області визначення не мати жодного екстремуму.

Якщо тобі треба знайти мінімуми й максимуми, скористайся похідними, точний порядок описано в статті дослідження функції.

Приклад

Визнач властивості функції за поданим графіком:

• Областю визначення цієї функції є відрізок [−4; 4].
• Область значень — це відрізок [−2; 4].
• Функція хоч і виглядає зростаючою, але на ділянці [0; 2] вона має стале значення, тож зростаючою бути не може. Проте функція ні на якому проміжку не спадає, тому вона неспадна.
• Графік функції не симетричний ні відносно осі Oy, ні відносно початку координат, тому функція ні парна, ні непарна.
• Чи оборотна функція? Уже було сказано, що на ділянці [0; 2] функція має стале значення, тож оборотною бути не може. Для різних x вона має те саме y.
• Функція обмежена, причому і зверху, і знизу. Ми можемо знайти горизонтальну пряму, яка буде над усім графіком, і таку, що буде під усім графіком.
• Задана функція має і мінімум, і максимум. Мінімум вона має в точці m = −4, а максимум у точці M = 4.