Множення

Множення — основна арифметична дія, з якою ми постійно стикаємося.

Що таке множення

Дію множення позначаємо або крапкою посередині рядка, або хрестиком. Щоб записати «три помножити на сім», пишемо 3 · 7 або 3 × 7. Іноді замість знака хрестика вживають звичайну літеру x (ікс): 3 x 7.

Множення натуральних чисел, тобто чисел 1, 2, 3, …, легко звести до додавання. Розглянемо приклад 4 · 6 = ?, чотири помножити на шість. Звичайною мовою це можна сказати так: «чотири рази підійди до Петрика і щоразу дай йому шість щигликів». Скільки щигликів він отримає всього? Уперше ми даємо йому шість щигликів, удруге теж, утретє теж і вчетверте теж. Разом ми дали йому 6 + 6 + 6 + 6 = 24 щигликів. Щоб не писати щоразу стільки однакових доданків, запровадили множення, тож коли треба додати чотири шістки, замість 6 + 6 + 6 + 6 можна написати просто 4 × 6.

Зверни увагу, що не має значення, чи додаємо чотири шістки, чи шість четвірок. Результат завжди однаковий.

$$ 4 \cdot 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 $$

Результат множення називається добутком, тож кажемо «добуток чисел 4 і 6 дорівнює 24» або «добуток 4 на 6 дорівнює 24». Числа, які ми множимо, у цьому випадку числа 4 і 6, називаються множниками.

Зображення множення

Множення можна зобразити як площу прямокутника. Залишимося на прикладі 4 · 6. Побудуємо прямокутник, одна сторона якого має довжину 4, а друга — 6. Прямокутник виглядатиме так:

Тепер знайдемо площу цього прямокутника, тобто порахуємо всі квадратики, які в ньому містяться.

Бачимо, що квадратиків рівно 24. Чому? Тому що ми чотири рази поклали один на одного по шість квадратиків, тож результат — знову сума 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

Множення на нуль

Якщо будь-яке число помножити на нуль, результатом знову буде нуль. Пояснення просте: якщо триматися попередніх прикладів, то це так, ніби ми сказали «жодного разу не підходь до Петрика і дай йому шість щигликів». Цього разу Петрикові нічого не загрожує, бо хоч він і має отримати шість щигликів, але не має отримати їх жодного разу.

Це можна показати й на рисунку. Рисунок, що зображує добуток 5 · 0, виглядав би так:

Оскільки другий множник дорівнює нулю, то одна зі сторін прямокутника має довжину нуль, і прямокутник перетворюється на відрізок, який не має жодної площі.

Порядок дій: множення

Множення виконується раніше за додавання і віднімання. Це означає, що в прикладі 2 + 3 · 4 спочатку обчислюємо добуток 3 · 4 = 12, а лише потім додаємо. Тож після обчислення добутку маємо 2 + 12, а це дорівнює 14.

Якби ми спочатку виконали додавання, то отримали б інший результат: 2 + 3 = 5, а потім 5 · 4 = 20. Цей результат неправильний.

Те саме з відніманням, тож 10 − 8 · 2 + 7 обчислюємо так, ніби там стоять дужки: 10 − (8 · 2) + 7. Отже: 10 − 16 + 7 = 1.

Стережися пасток, які часто трапляються в соціальних мережах. Там з'являються приклади на кшталт 1 + 1 + 1 · 0 = ?. Багато людей бачать множення на нуль і відразу пишуть, що результат — нуль, але це неправильна відповідь. Оскільки множення має пріоритет, цей приклад рівносильний прикладу 1 + 1 + (1 · 0) = ?.

Тут спочатку обчислюємо дужку: 1 + 1 + 0 = ?, а тепер додаємо: 1 + 1 + 0 = 2. Правильний результат — 2, а не 0.

Найпідступніше те, що простіший калькулятор теж видасть нуль. Чому? Тому що в простих калькуляторах ти вводиш не весь вираз, а поступово, і калькулятор працює з проміжним результатом. Якщо набрати на такому калькуляторі 1 + 1 + 1 · 0, він спочатку обчислить 1 + 1 = 2, потім 2 + 1 = 3, бо пам'ятає лише проміжний результат 2, і нарешті обчислить 3 · 0 = 0. Калькулятор насправді обчислив приклад (((1 + 1) + 1) · 0).

Деякі калькулятори вміють враховувати порядок дій, деякі дозволяють ввести весь приклад одразу, а потім обчислюють його правильно. Якщо твій цього не вміє, пам'ятай про це.

Про порядок дій у множенні можна прочитати в окремій статті.

Таблиця множення

Для подальших обчислень корисно запам'ятати всю таблицю множення, тобто всі добутки чисел, менших за 11:

Спочатку таблиця множення від одного до п'яти:

$$ \begin{array}{lllll} 1 \cdot 1 = 1&2 \cdot 1 = 2&3 \cdot 1 = 3&4 \cdot 1 = 4&5 \cdot 1 = 5 \\ 1 \cdot 2 = 2&2 \cdot 2 = 4&3 \cdot 2 = 6&4 \cdot 2 = 8&5 \cdot 2 = 10 \\ 1 \cdot 3 = 3&2 \cdot 3 = 6&3 \cdot 3 = 9&4 \cdot 3 = 12&5 \cdot 3 = 15 \\ 1 \cdot 4 = 4&2 \cdot 4 = 8&3 \cdot 4 = 12&4 \cdot 4 = 16&5 \cdot 4 = 20 \\ 1 \cdot 5 = 5&2 \cdot 5 = 10&3 \cdot 5 = 15&4 \cdot 5 = 20&5 \cdot 5 = 25 \\ 1 \cdot 6 = 6&2 \cdot 6 = 12&3 \cdot 6 = 18&4 \cdot 6 = 24&5 \cdot 6 = 30 \\ 1 \cdot 7 = 7&2 \cdot 7 = 14&3 \cdot 7 = 21&4 \cdot 7 = 28&5 \cdot 7 = 35 \\ 1 \cdot 8 = 8&2 \cdot 8 = 16&3 \cdot 8 = 24&4 \cdot 8 = 32&5 \cdot 8 = 40 \\ 1 \cdot 9 = 9&2 \cdot 9 = 18&3 \cdot 9 = 27&4 \cdot 9 = 36&5 \cdot 9 = 45 \\ 1 \cdot 10 = 10&2 \cdot 10 = 20&3 \cdot 10 = 30&4 \cdot 10 = 40&5 \cdot 10 = 50 \\ \end{array} $$

А тепер від шести до десяти:

$$ \begin{array}{lllll} 6 \cdot 1 = 6&7 \cdot 1 = 7&8 \cdot 1 = 8&9 \cdot 1 = 9&10 \cdot 1 = 10 \\ 6 \cdot 2 = 12&7 \cdot 2 = 14&8 \cdot 2 = 16&9 \cdot 2 = 18&10 \cdot 2 = 20 \\ 6 \cdot 3 = 18&7 \cdot 3 = 21&8 \cdot 3 = 24&9 \cdot 3 = 27&10 \cdot 3 = 30 \\ 6 \cdot 4 = 24&7 \cdot 4 = 28&8 \cdot 4 = 32&9 \cdot 4 = 36&10 \cdot 4 = 40 \\ 6 \cdot 5 = 30&7 \cdot 5 = 35&8 \cdot 5 = 40&9 \cdot 5 = 45&10 \cdot 5 = 50 \\ 6 \cdot 6 = 36&7 \cdot 6 = 42&8 \cdot 6 = 48&9 \cdot 6 = 54&10 \cdot 6 = 60 \\ 6 \cdot 7 = 42&7 \cdot 7 = 49&8 \cdot 7 = 56&9 \cdot 7 = 63&10 \cdot 7 = 70 \\ 6 \cdot 8 = 48&7 \cdot 8 = 56&8 \cdot 8 = 64&9 \cdot 8 = 72&10 \cdot 8 = 80 \\ 6 \cdot 9 = 54&7 \cdot 9 = 63&8 \cdot 9 = 72&9 \cdot 9 = 81&10 \cdot 9 = 90 \\ 6 \cdot 10 = 60&7 \cdot 10 = 70&8 \cdot 10 = 80&9 \cdot 10 = 90&10 \cdot 10 = 100 \\ \end{array} $$