Корені

Корінь — це частково обернена функція до степеня. Найчастіше ми працюємо з квадратним коренем: він шукає таке число, що, помножене саме на себе, дає початкове число, з якого ми добували корінь.

Квадратний корінь

Для кореня використовують знак $\sqrt{}$. Щоб не писати аргумент кореня в дужках на кшталт $\sqrt{}$(25), над усім аргументом (виразом, з якого добуваємо корінь) проводять горизонтальну риску, ось так: $\sqrt{25}$.

Спочатку розглянемо лише квадратний корінь із дійсного числа. Означимо його так:

$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$$

Якщо помножити корінь із числа a на корінь із числа a, отримаємо число a. Тож для числа 9 корінь дорівнює 3, бо 3 · 3 = 9.

Попередній вираз можна записати й так:

$$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$

Це лише інший запис попереднього множення, а саме за допомогою степеня.

Важливо, що ця рівність виконується тільки для тих a, які належать області визначення кореня. Адже з від'ємного числа корінь добути не можна. Можна добути корінь із будь-якого додатного числа, можна з нуля, але з від'ємного числа — ні. Чому так?

Припустімо, що хочемо знайти корінь із −25. Загалом ми маємо два варіанти: взяти додатне число або від'ємне. Якщо візьмемо додатне, матимемо 5 · 5 = 25. Ми отримали 25, а нам потрібно −25. Спробуємо −5, але після множення знову виходить 25. Коли множиш два від'ємні числа, отримуєш додатне; так само й коли множиш два додатні. Щоб отримати −25, довелося б множити −5 · 5, а це не можна: ти множиш два різні числа, хай навіть вони відрізняються лише знаком. Тому квадратного кореня з від'ємного числа не існує.

Корінь n-го степеня

Так само як вираз можна піднести до другого, третього, четвертого степеня, можна добувати й корінь третього, четвертого і, нарешті, n-го степеня з дійсного числа. Його зазвичай записують над «галочкою» знака кореня, ось так:

$$\sqrt[5]{32}$$

Цей запис означає корінь п'ятого степеня з числа тридцять два. Корінь n-го степеня означимо через n-й степінь так:

$$\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^n=a;\qquad n\in\mathbb{N}, a,b\ge0$$

Якщо замість n підставити двійку, отримаємо квадратний корінь у тому вигляді, в якому ми його означили щойно. Коротше це можна записати й так:

$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a$$

Існує домовленість, що для квадратного кореня двійку писати не обов'язково, тож ці записи рівнозначні:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Наприклад, для кореня четвертого степеня виконується:

$$\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}=a$$

А ось конкретний приклад:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

І навпаки, 4 · 4 · 4 = 64.

Корінь із від'ємного числа

Ми вже знаємо, що квадратного кореня з від'ємного числа не існує, бо a², де a — дійсне число, ніколи не буде від'ємним. Проте для коренів вищих степенів ми множимо не лише двічі, тож трапляються випадки, коли корінь n-го степеня з від'ємного числа існує. Як із цим?

Нам заважало те, що, помноживши від'ємне число двічі, ми отримуємо додатне. Щоб отримати результат −25, потрібен був добуток −5 · 5. Але що буде, коли множити три від'ємні числа? Після множення перших двох отримаємо додатне число, а після множення на останнє від'ємне число знову матимемо від'ємне. Якщо помножити ще раз (разом чотири рази), опинимося знову серед додатних чисел.

Висновок такий: якщо множити від'ємне число n разів, то при парному n добуток додатний, а при непарному — від'ємний. Звідси випливає, що корінь n-го степеня з від'ємного числа існує, коли n непарне. Приклад:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Перетворення на степінь

Корені легко перетворювати на степені, і це роблять часто, бо зі степенями працювати зручніше. Виконується такий зв'язок:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Корінь n-го степеня з a — це те саме, що піднести a до степеня 1/n. Це стане в пригоді й тоді, коли треба кудись ввести корінь вищого степеня, ніж другий. Часто це напряму неможливо, але в показник можна ввести дріб. Якщо хочеш побудувати графік кореня четвертого степеня, будуй графік функції

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Найчастіше використовують перетворення квадратного кореня:

$$\sqrt{x}=x^{\frac12}$$

Формули для коренів

Оскільки корінь легко перетворити на степінь, вирази з коренями успадковують формули для степенів. Тому виконуються такі співвідношення:

$$\Large \sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\qquad a,b\ge0$$

$$\Large \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\qquad a\ge0, b>0$$

$$\Large \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\Large \sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}\qquad a>0$$

Крім того, виконуються такі основні співвідношення:

$$\Large \sqrt[n]{0}=0$$

$$\Large \sqrt[n]{1}=1$$

$$\Large \sqrt[1]{a}=a$$

Винесення множника з-під кореня

Винесення множника з-під кореня — це прийом для спрощення виразів із коренями, який використовує одну з попередніх формул:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\qquad a,b\ge0$$

Деякі вирази під коренем можна розкласти на множники, потім записати у вигляді добутку двох коренів і, нарешті, з одного з цих коренів добути корінь. Типовий приклад:

$$\sqrt{4x}$$

За попередньою формулою цей вираз можна переписати так:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x}=$$

Тепер можна добути корінь із чотирьох:

$$=2\cdot\sqrt{x}$$

Так само можна переписати й звичайне число, якщо хочемо зберегти точну форму. Приклад:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$