Тригонометричні функції

У цій статті йтиметься про тригонометричні функції. Слово «тригонометрія» походить із грецької: «тригон» означає «трикутник», а «метрія» — «вимірювання». Ми знаємо чотири основні тригонометричні функції — синус, косинус, тангенс і котангенс.

Основні поняття про трикутник

Тригонометричні функції працюють із кутами в трикутнику, тому в цій частині повторимо поняття, пов'язані з трикутником.

На малюнку зображено трикутник із вершинами A, B і C, тобто трикутник ABC. Бачимо в ньому три сторони: AB, BC, AC. Зверни також увагу, що ці сторони ще й названо малими літерами. Тут діє правило: навпроти вершини A лежить сторона a, навпроти вершини B — сторона b, а навпроти вершини C — сторона c. Отже, сторону, що лежить навпроти вершини, називають її малою літерою; це та сторона, яка не містить цієї вершини.

Кожен трикутник має три внутрішні кути, які зазвичай позначають грецькими літерами альфа α, бета β і гамма γ. Сума всіх трьох внутрішніх кутів завжди дорівнює 180 градусам. При вершині A зазвичай маємо кут альфа, при B — бета, а при C — гамма.

Хоча тригонометричні функції певним чином можна застосовувати до будь-якого трикутника, найчастіше ми працюємо лише з прямокутним трикутником. Прямокутний трикутник — це трикутник, один кут якого прямий, тобто дорівнює 90 градусам. Він виглядає, наприклад, так:

Сторони прямокутного трикутника мають особливі назви. Найдовша сторона лежить навпроти прямого кута й називається гіпотенузою (синя сторона на малюнку). Дві коротші сторони називаються катетами (червоні сторони). Саме цей трикутник цікавитиме нас у цій статті найбільше.

Позначення катетів у трикутнику

Перейдімо поступово до першої тригонометричної функції — функції синус. Усі тригонометричні функції показують зв'язок між якимось кутом у трикутнику та відношенням довжин двох сторін. Зазвичай це не прямий кут, а один із двох решти. Вхідним значенням тригонометричної функції є величина кута. Вихідним — відношення якихось двох сторін. Окремі функції відрізняються тим, з якими сторонами вони працюють.

Функція синус працює з протилежним катетом і гіпотенузою. Що таке прилеглий і протилежний катет відносно заданого кута, показує наступний малюнок.

На малюнку ми працюємо з кутом бета, тобто з кутом при вершині B. Чорна сторона — гіпотенуза, з нею нічого не змінюється. Червоним виділена сторона c — це прилеглий катет, бо вона прилягає до кута бета. Синім виділена сторона b — це протилежний катет, бо вона лежить навпроти кута бета. Важливо, що ці поняття завжди стосуються певного кута. Якщо подивитися на малюнок з погляду кута гамма, отримаємо такий результат:

Функція синус

Синус кута альфа дорівнює відношенню довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи. Що це означає? Якщо обчислити (наприклад, на калькуляторі) синус кута альфа, ми отримаємо значення частки

$$\sin(\alpha)=\frac{\mbox{довжина протилежного катета}}{\mbox{довжина гіпотенузи}}$$

Спробуймо це на такому трикутнику й куті бета: Це гарний трикутник, довжини сторін: |a| = 5, |b| = 3 і |c| = 4. Протилежний катет до кута бета — це сторона b, гіпотенуза — сторона a. Обчислимо частку b/a, тобто 3/5, що дорівнює 0{,}6. Отже, синус кута бета дорівнює 0,6. Кут бета має величину $36^\circ 52^\prime$; якщо ввести цей кут у калькулятор і обчислити синус, отримаємо саме 0,6 (після незначного округлення).

Для чого це потрібно

Це корисно тоді, коли ти знаєш один кут і довжину однієї сторони й потрібно знайти решту сторін.

Спершу запишемо, що ми знаємо. Ми знаємо кут альфа. Знаємо, що синус цього кута дорівнює відношенню протилежного катета (це сторона a) до гіпотенузи (сторона b). Математично це записують так:

$$\sin(\alpha)=\frac{|a|}{|b|}$$

Синус кута ми знаємо, точніше можемо обчислити, довжину сторони a знаємо. Єдине, чого ми не знаємо, — це довжина сторони b. Цю змінну ми й спробуємо виразити. Спершу помножимо рівняння на довжину сторони b. Отримаємо

$$|b|\cdot\sin(\alpha)=|a|$$

а тепер просто поділимо рівняння на sin(α) і дістанемо потрібний вигляд з довжиною сторони b у лівій частині:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin(\alpha)}.$$

Довжину сторони a ми знаємо, вона дорівнює трьом. Синус тридцяти градусів дорівнює одній другій. Підставимо:

$$|b|=\frac{3}{0{,}5}=6$$

Сторона b має довжину шість.

Функція косинус

Косинус дуже схожий на функцію синус. Термінологія навколо функції косинус така сама, як у попередній частині, тож перейдімо до означення:

Косинус кута альфа дорівнює відношенню довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи. Тобто якщо на калькуляторі обчислити косинус кута альфа, ми отримаємо значення частки

$$\cos(\alpha)=\frac{\mbox{довжина прилеглого катета}}{\mbox{довжина гіпотенузи}}.$$

Різницю між синусом і косинусом наочно показує наступний малюнок:

Обидві функції працюють із гіпотенузою трикутника, вона залишається чорною. Синус працює з протилежним катетом, яким — відносно кута альфа — є червона сторона BC. Косинус працює з прилеглим катетом, яким є синя сторона AB.

Повернімося до прикладу з попереднього розділу. Нам треба було обчислити довжину гіпотенузи, знаючи довжину сторони a. Спробуймо тепер обчислити довжину сторони c, якщо знаємо кут альфа та довжину гіпотенузи, яку ми щойно обчислили в попередньому прикладі: b = 6.

Що ми знаємо? Кут альфа дорівнює 30 градусам, довжина сторони b дорівнює шести, а косинус дає відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Прилеглий катет — це сторона c, тобто сторона, довжину якої ми хочемо знайти. Запишемо:

$$\cos(\alpha)=\frac{|c|}{|b|}$$

Нам треба виразити з рівняння |c|. Для цього помножимо рівняння на довжину сторони b, і в правій частині залишиться лише довжина сторони c:

$$|b|\cdot\cos(\alpha)=|c|$$

Просто поміняємо частини місцями:

$$|c|=|b|\cdot\cos(\alpha)$$

У правій частині стоять вирази, які ми або знаємо, або вміємо обчислити. Косинус тридцяти градусів приблизно дорівнює 0,866. Підставимо в рівняння:

$$|c|=6\cdot0{,}866=5{,}196$$

Це довжина сторони c. Як ми побачимо далі, косинус тридцяти градусів — табличне значення, яке дорівнює

$$\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}(\approx 0{,}866025\ldots),$$

тож попередню довжину можна уточнити:

$$|c|=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Тангенс і котангенс

Існують ще дві тригонометричні функції — тангенс і котангенс. Головна відмінність від попередніх тригонометричних функцій у тому, що тангенс і котангенс працюють лише з катетами, а гіпотенузу не використовують.

Тангенс кута альфа дорівнює відношенню довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета. Тангенс зазвичай позначають $\operatorname{tg}$ (в англомовній літературі та на калькуляторах також $\tan$).

$$\operatorname{tg}(\alpha)=\frac{\mbox{довжина протилежного катета}}{\mbox{довжина прилеглого катета}}$$

Котангенс кута альфа дорівнює відношенню довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета. Котангенс зазвичай позначають $\operatorname{ctg}$ (в англомовній літературі та на калькуляторах також $\cot$).

$$\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{\mbox{довжина прилеглого катета}}{\mbox{довжина протилежного катета}}$$

Термінологія знову така сама, як у попередніх частинах, і подальша робота з функціями теж однакова. Повернімося до попереднього прикладу й спробуймо обчислити довжину сторони c, знаючи лише величину кута альфа та довжину сторони a, яка дорівнює a = 3.

Тангенс — це відношення протилежного катета до прилеглого, тому математично запишемо так:

$$\operatorname{tg}(\alpha)=\frac{|a|}{|c|}$$

Нам треба обчислити довжину сторони c, тож потрібно виразити з цього рівняння |c|. Помножимо на |c| і поділимо на $\operatorname{tg}(\alpha)$, як і в попередніх прикладах.

$$\begin{eqnarray} \operatorname{tg}(\alpha)&=&\frac{|a|}{|c|}\quad/\cdot |c|\\ |c|\cdot\operatorname{tg}(\alpha)&=&|a|\quad/:\operatorname{tg}(\alpha)\\ |c|&=&\frac{|a|}{\operatorname{tg}(\alpha)} \end{eqnarray}$$

Підставимо в праву частину, де тангенс тридцяти градусів приблизно дорівнює 0,5773.

$$|c|=\frac{3}{0{,}5773}=5{,}196.$$

Для тангенса тридцяти градусів існує табличне значення:

$$\operatorname{tg}(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

тому попередній розрахунок можна виконати точно:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Табличні значення

Синус, косинус, тангенс і котангенс мають для деяких зручних кутів гарні значення. Ось їхній основний огляд:

$$ \LARGE \begin{matrix} &\sin&\cos&\operatorname{tg}&\operatorname{ctg}\\ 0^\circ&0&1&0&\times\\ 30^\circ&\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\ 45^\circ&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ 60^\circ&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac12&\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 90^\circ&1&0&\times&0 \end{matrix} $$

Посилання

Пов'язані поняття на цьому сайті:

• Орієнтований кут
• Радіан