Обернені тригонометричні функції

Щоб тригонометричні функції мали сенс у зворотному напрямку, потрібно означити й обернені до них функції. Їх називають арк-функціями (від латинського arcus — «дуга»): це арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс. Скорочено вони пишуться $\arcsin$, $\arccos$, $\operatorname{arctg}$ і $\operatorname{arcctg}$.

Мотивація

Почнімо з прикладу. Обчисли величину кута альфа:

Нам відомі довжини двох сторін трикутника: сторона b = 3 і сторона a = 6. Потрібно знайти кут альфа. Сторона a — це гіпотенуза, а сторона b — катет, протилежний куту альфа. З протилежним катетом працює функція синус: синус кута альфа дорівнює відношенню довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи. Тож спробуймо підставити у формулу:

$$\sin(\alpha)=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac12$$

Тепер ми знаємо, що синус кута альфа дорівнює одній другій. Питання в тому, як за цим числом дізнатися кут. Для цього потрібна обернена функція до функції синус. Функція синус отримує на вході кут і повертає відношення двох сторін. А нам потрібна функція, у яку ми вкладаємо відношення, а на виході отримуємо кут.

Саме це й роблять арк-функції. Ще перед тим, як докладно їх означити, дорахуймо приклад: арксинус однієї другої дорівнює 30 градусам. Якщо ти захочеш порахувати такий самий приклад на калькуляторі, то арксинус там часто позначено як sin⁻¹.

Чи існує обернена функція до синуса?

Спершу погляньмо на графік функції синус:

Повторімо деякі властивості функцій. Функція f має обернену, якщо вона оборотна. Що це означає? Якщо взяти два різні елементи x₁ і x₂ з області визначення, то їхні образи f(x₁) і f(x₂) мають бути різними. Це має виконуватися для всіх можливих пар. Легко побачити це за графіком: якщо можна провести пряму, паралельну осі Ox, яка перетинає графік функції f більше ніж в одній точці, то функція не є оборотною.

Очевидно, що для функції синус таку пряму знайти можна. Наприклад, сама вісь Ox перетинає графік синуса більше ніж в одній точці, а точніше — у нескінченній кількості точок. Тому функція синус не є оборотною, і оберненої функції до неї не існує.

Обернена функція до звуження функції синус

З попереднього розділу ми знаємо, що до функції синус оберненої функції немає. Проте на початку ми казали, що існує якась функція арксинус, яка поводиться саме так, як нам потрібно. Як це вдалося? Ми взяли з функції синус лише ту частину, яка є оборотною, і до цього звуження функції можемо означити обернену функцію.

Звузити функцію синус можна, зменшивши її область визначення. Яку підмножину початкової області визначення (дійсних чисел) вибрати? Можна вибрати різні підмножини, але найкращий вибір — відрізок

$$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$$

Цей відрізок зображено на наступному малюнку:

На цій області визначення ми вже можемо означити обернену функцію, адже на цьому відрізку функція синус оборотна. Графік оберненої функції симетричний графіку початкової функції відносно прямої y = x (бісектриси першої та третьої координатних чвертей), тож ми вже можемо накреслити графік функції, оберненої до звуження функції sin(x). Розглянь малюнок:

Синім накреслено початковий синус. Червоним виділено ту частину функції, до якої ми шукаємо обернену. Зеленим зображено обернену функцію, яку позначаємо $\arcsin$ (а в програмуванні та на калькуляторах також $\operatorname{asin}$).

Область визначення й область значень арксинуса

На цих двох функціях добре видно, як область визначення та область значень міняються місцями. Поглянь на наступний малюнок: на ньому ті самі графіки тими самими кольорами, лише трохи збільшені та з додатковими лініями й точками:

Зверни увагу, що область визначення звуження функції синус (червона лінія) — це відрізок

$$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$$

Областю визначення називаємо всі x, для яких функцію означено. Ми означили її лише на цьому відрізку, щоб отримати оборотну функцію. На графіку ці x шукаємо на осі Ox.

Тепер подивись, як виглядає область значень функції арксинус (зелена лінія). Область значень — це всі y, які функція може повернути на виході, тобто шукаємо їх на осі Oy. Область значень функції арксинус — знову відрізок

$$\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$$

Це загальна властивість оберненої функції, тож нікого це не має дивувати. Так само для області значень звуження функції синус і для області визначення арксинуса. Область значень функції синус — відрізок від мінус одиниці до одиниці. Синус може повертати лише ці значення: синус жодного кута не більший за одиницю й не менший за мінус одиницю. А оскільки синус жодного кута не може бути більшим за одиницю, то логічно, що й вхідне значення оберненої функції не може бути більшим за одиницю. Тому областю визначення функції арксинус також є відрізок [−1; 1].

Арккосинус

Тепер коротко про обернену функцію до косинуса. З тієї самої причини, що й для синуса, оберненої функції тут немає, бо функція не є оборотною. Проте ми можемо вибрати підмножину області визначення й отримати оборотну функцію.

Синім позначено графік функції косинус, а червона частина — це звуження цієї функції на область визначення [0; π]. Зелена лінія є графіком функції $\arccos(x)$, оберненої до нашого звуження функції косинус.

Арктангенс

Графік функції тангенс виглядає так:

Цей графік має іншу форму, ніж попередні функції, але все одно не є оборотним. Проте ми знову можемо звузити функцію й вибрати таку частину, яка буде оборотною. Виберемо інтервал

$$\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$$

Обернена функція тоді має такий вигляд:

Арккотангенс

Усе так само, як у попередніх розділах. Графік функції котангенс: Областю визначення звуження функції котангенс буде інтервал (0; π).