Теорема Піфагора

Теорема Піфагора — мабуть, найвідоміша математична теорема. Про самого Піфагора з Самоса можна почитати в енциклопедіях. А ми тепер візьмемося за трикутники.

Площа квадрата на стороні трикутника

Теорема Піфагора описує корисне співвідношення між площами квадратів, які побудовано на сторонах прямокутного трикутника. Уявімо, що маємо такий прямокутний трикутник:

Квадратна сітка на задньому плані показує розміри трикутника. Довжина катета AC дорівнює 4, а довжина катета BC дорівнює 3. Але яка довжина сторони AB, гіпотенузи трикутника? На перший погляд довжину визначити не можна. Проте можна спробувати її обчислити.

Спершу побудуємо квадрат на катеті BC. Це означає, що будуємо квадрат, довжина всіх сторін якого дорівнює довжині відрізка BC, тобто трьом. На рисунку це виглядало б так:

Утворився квадрат BCDE, довжина всіх сторін якого дорівнює 3. Яка площа такого квадрата? Площу квадрата обчислюємо, помноживши довжини двох його сторін, тож площа квадрата BCDE дорівнює 3 · 3 = 9. Намалюймо на рисунку квадрат на другому катеті, на катеті AC. Довжина сторін такого квадрата дорівнюватиме 4.

Площа цього квадрата дорівнює 4 · 4 = 16. Тепер побудуймо останній квадрат, на гіпотенузі AB:

Яка площа цього нового квадрата, ми поки не знаємо, бо не знаємо довжини сторони AB. Але тепер можемо чудово скористатися теоремою Піфагора. Вона стверджує, що площа цього останнього квадрата ABHI дорівнює сумі площ двох попередніх квадратів. Тобто площі перших двох квадратів були 9 і 16, отже, площа останнього квадрата — за теоремою Піфагора — дорівнює 9 + 16 = 25. Позначимо це на рисунку:

Тепер залишилося відповісти на останнє питання: якщо площа квадрата ABHI дорівнює 25, то яка довжина його сторін? Це має бути квадратний корінь із 25, тож довжина сторони AB дорівнює $\sqrt{25}=5$. Перевіримо: площа квадрата зі стороною 5 дорівнює 5 · 5 = 25. Тепер можна братися до чисел і означень.

Означення

Теорема Піфагора звучить приблизно так: «Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах». У математичному записі цю теорему зазвичай пишуть так

$$c^2 = a^2 + b^2,$$

де a і b — довжини катетів у трикутнику, а c — довжина гіпотенузи.

Що ж стверджує теорема Піфагора і як цей запис пов'язаний з попереднім рисунком? Площа квадрата на стороні трикутника — це площа квадрата, довжина сторони якого дорівнює довжині цієї сторони трикутника. Площу квадрата обчислюємо, помноживши одну довжину сторони на іншу, тобто якщо сторона має довжину c, то площа S дорівнює: S = c · c, що за допомогою степенів можна записати як S = c².

Отже, запис c² = a² + b² можна прочитати так: «площа квадрата зі стороною c дорівнює сумі площ квадратів зі сторонами a і b».

Ще раз наголошу, що теорема справджується лише в прямокутному трикутнику, а не в довільному. Теорему Піфагора зазвичай використовують, коли відомі довжини двох сторін, а треба обчислити довжину третьої. Якщо ми знаємо довжини обох катетів a і b і хочемо знайти довжину гіпотенузи c, то обчислюємо площі квадратів на катетах, тобто a² + b². Так отримуємо площу квадрата на гіпотенузі c, тобто c². Щоб отримати довжину сторони c, потрібно з обчисленої площі просто добути квадратний корінь. Отже, маємо формулу:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

де c — довжина гіпотенузи, а a, b — довжини катетів. Якби ми, навпаки, знали довжину гіпотенузи та одного катета і хотіли обчислити довжину другого катета, то робили б те саме, лише спершу виразили б один із катетів із відповідної рівності. Тож якщо відомі c і b, а треба обчислити a, то в рівності

$$c^2 = a^2 + b^2,$$

виразимо a², віднявши b²:

$$c^2 - b^2 = a^2,$$

поміняємо місцями ліву й праву частини:

$$ a^2=c^2-b^2 $$

і нарешті добудемо квадратний корінь:

$$ a=\sqrt{c^2-b^2} $$

Перший приклад

Нехай маємо трикутник ABC, у якого відомі довжини двох сторін: a = 3 і b = 4. Це той самий трикутник, який ми розглядали на початку. Питання: яка довжина третьої сторони, сторони c? Спробуймо обчислити її за наведеною формулою. Трикутник показано на наступному рисунку:

Бачимо, що відомі довжини двох катетів, а бракує довжини гіпотенузи. Тому скористаємося першою, незміненою формулою:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Підставимо замість змінних a і b довжини сторін:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

У формулі маємо квадрат числа — для нагадування, діє таке співвідношення:

$$a^2=a\cdot a\quad\rightarrow\quad4^2=4\cdot4=16$$

Отже, після обчислення квадратів маємо:

$$\begin{eqnarray} c&=&\sqrt{3^2+4^2}\\ c&=&\sqrt{9+16}\\ c&=&\sqrt{25}\\ c&=&5 \end{eqnarray}$$

Результат: довжина сторони c дорівнює п'яти.

Другий приклад

У цьому прикладі спробуємо обчислити довжину одного з катетів, якщо відомі інший катет і гіпотенуза. Маємо трикутник ABC зі сторонами |AC| = 10 і |BC| = 6. Трикутник зображено на наступному рисунку:

З рисунка видно, що гіпотенуза, тобто найдовша сторона, — це сторона |AC|. Потрібно обчислити довжину сторони |AB|. Підставимо в другу формулу, для обчислення довжини катета:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Щоб правильно скористатися теоремою Піфагора, тепер треба усвідомити, що означає кожна змінна. У цій формулі змінна a — це довжина сторони, яку хочемо обчислити, у нашому випадку сторони |AB|. Змінна c — довжина гіпотенузи, найдовшої сторони, у нашому випадку сторони |AC|. А змінна b — довжина катета, довжину якого ми знаємо, у нашому випадку |BC|. Тому підставляємо у формулу так:

$$|AB|=\sqrt{|AC|^2-|BC|^2}$$

Підставимо конкретні довжини сторін, які знаємо:

$$|AB|=\sqrt{10^2-6^2}$$

Обчислимо степені та віднімемо:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

І нарешті добудемо корінь:

$$|AB|=8$$

Довжина сторони |AB| дорівнює восьми.

Задача з життя

Уяви, що ти йдеш до подруги по прямій дорозі. Ця дорога має довжину 250 метрів. Пройшовши цю чверть кілометра, ти повертаєш ліворуч і йдеш ще 100 метрів — і ти вже у своєї доброї подруги. Питання: наскільки коротшим буде шлях, якщо піти навпростець через поле?

Спершу обчислимо довжину шляху, якщо йти дорогою. Спочатку ти проходиш 250 метрів прямо, а потім 100 метрів ліворуч. Разом це 250 + 100 = 350 метрів. Тепер черга обчислити довжину шляху через поле. Для цього знадобиться рисунок.

Одна клітинка на рисунку відповідає 50 метрам. Як виглядав би прямий шлях через поле? Це був би відрізок від точки A до точки C. Намалюймо його на рисунку червоним кольором.

Тепер уже видно, що для обчислення довжини шляху через поле достатньо відповідно застосувати теорему Піфагора. Шукаємо довжину гіпотенузи, а довжини обох катетів знаємо, тож скористаємося першою формулою й підставимо в неї так:

$$|AC|=\sqrt{|AB|^2+|CB|^2}$$

Підставимо довжини:

$$|AC|=\sqrt{250^2+100^2}$$

Піднесемо до квадрата:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Добудемо корінь і округлимо:

$$|AC|\approx269$$

Довжина шляху через поле дорівнює 269 метрам. Але це ще не кінець задачі, адже питання було, наскільки шлях через поле коротший. Віднімемо довжини одну від одної, різницю позначимо r:

$$r=350-269=81$$

Відповідь: шлях коротший приблизно на 81 метр.

Довжина сторони квадрата

Яка довжина сторони квадрата, діагональ якого дорівнює десяти? Як нам тут допоможе теорема Піфагора? Потрібно знайти в квадраті якийсь прямокутний трикутник, який ми використаємо для обчислення довжини сторони квадрата. Лише для нагадування: квадрат має чотири однакові за довжиною сторони. Намалюймо цю ситуацію:

Бачимо, що в квадраті одразу з'явилися два трикутники, які мають прямий кут і які ми могли б використати для обчислення довжини сторони. Візьмімо, наприклад, трикутник BCD. Сторона DB — гіпотенуза, решта двох — катети. Довжини катетів ми не знаємо, але знаємо довжину гіпотенузи. Ці катети мають однакову довжину, тобто |BC| = |CD|. Запишемо теорему Піфагора для цього трикутника:

$$|BD|^2=|BC|^2+|CD|^2$$

Але оскільки катети рівні, досить обчислити квадрат одного катета й помножити його на два — не треба рахувати квадрат обох катетів, бо вони однакові й вийшов би той самий результат. Тож можемо записати:

$$|BD|^2=2\left(|BC|^2\right)$$

Довжину сторони BD ми знаємо, це гіпотенуза. Її довжина дорівнює десяти. Підставимо в рівність:

$$10^2=2\left(|BC|^2\right)$$

Піднесемо десятку до квадрата:

$$100=2\left(|BC|^2\right)$$

Поділимо на два:

$$\frac{100}{2}=|BC|^2$$

Скоротимо дріб:

$$50=|BC|^2$$

Тепер ми вже майже біля мети. Знаємо, що квадрат довжини сторони квадрата дорівнює 50. Щоб дізнатися довжину сторони, треба ще добути корінь із обох частин рівності, що ми можемо собі дозволити, бо працюємо з додатними числами:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC|^2}$$

Корінь із п'ятдесяти залишимо в такому вигляді, але в правій частині рівності можемо прибрати корінь і степінь, бо вони взаємно скасовуються.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Якщо хочеш, можна обчислити й корінь із п'ятдесяти. Округлено вийшло б сім:

$$7\approx|BC|$$

Отже, довжина сторони квадрата приблизно дорівнює семи, а точно — кореню квадратному з п'ятдесяти.