Cramer Kuralı

Cramer kuralı, sistem matrisinin tersinir olduğu doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanılır.

Cramer sistemi

Ax = b doğrusal denklem sistemi verilsin. A kare ve tersinir bir matrisse bu sisteme Cramer sistemi diyoruz. Bu, bu matrisin determinantının her zaman sıfırdan farklı olduğu ve matrisin doğrusal bağımlı satırlara ya da sütunlara sahip olmadığı anlamına gelir.

Kronecker–Capelli teoremine göre her Cramer sisteminin tam olarak bir çözümü vardır. Kronecker–Capelli teoremi, rank(A) = rank(A|b) = k ise sistemin çözümü olduğunu söyler. Cramer sisteminin A matrisi karedir ve mümkün olan en büyük rank’a sahiptir. Yani bu matrise başka herhangi bir sütun eklersek, bu sütun mutlaka A matrisinin sütunlarının doğrusal birleşimi olmak zorundadır. Dolayısıyla b sütununu eklemek A matrisinin rankını artırmaz.

Kronecker–Capelli teoremi ayrıca, çözümü ifade etmek için n − k parametreye ihtiyacımız olduğunu söyler; burada n değişken sayısı, k ise (A|b) matrisinin rankıdır. Cramer sisteminde n = k olur, bu yüzden çözümü ifade etmek için hiç parametreye ihtiyacımız olmaz. Bu nedenle her Cramer sisteminin tam olarak bir çözümü vardır.

Şimdi A_i ile, i. sütunun yerinde b sütunu bulunan değiştirilmiş A matrisini gösterelim. A_i matrisini biçimsel olarak şöyle tanımlarız:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

burada a_ij A matrisinin elemanları, b_i ise b matrisinin elemanlarıdır.

Cramer kuralı

Ax = b bir Cramer sistemi olsun. Cramer kuralına göre bu sistemin tam olarak bir çözümü (x₁, x₂, …, x_n) vardır ve burada

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Kuralı hemen küçük bir örnekle gösterelim. Aşağıdaki sistemi Cramer kuralıyla çözelim.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

Sistemin matrisi şöyledir:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Matrisin determinantı şuna eşittir:

$$|A|=3-8=-5.$$

Sonra A₁ ve A₂ matrislerini oluşturalım. Bunlar şöyle olur:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Bu matrislerin determinantlarını hesaplayalım:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Şimdi sırayla x₁ ve x₂’yi hesaplayalım. Cramer kuralına göre x₁ elemanı için şu eşitlik geçerlidir

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Yerine koyunca şunu elde ederiz

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

İkinci eleman x₂ için de aynısını yapalım:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Denklem sisteminin çözümü (x₁, x₂) = (3, 1) ikilisidir.

Cramer kuralı özellikle yöntemi algoritmaya dökmek istediğinde uygundur, kolayca programlanır. Bir sistemi Cramer kuralıyla elle çözmek genellikle onu Gauss eliminasyon yöntemiyle çözmekten daha zahmetlidir.