Regra de Cramer

A regra de Cramer é usada para resolver um sistema de equações lineares cuja matriz dos coeficientes é inversível.

Sistema de Cramer

Considere um sistema de equações lineares Ax = b. Dizemos que esse sistema é de Cramer se A é uma matriz quadrada inversível. Isso significa que o determinante dessa matriz é sempre diferente de zero e que a matriz, portanto, não tem nenhuma linha ou coluna linearmente dependente.

Pelo teorema de Rouché-Capelli, todo sistema de Cramer tem exatamente uma solução. O teorema de Rouché-Capelli diz que, se $\mathrm{posto}(A)=\mathrm{posto}(A⋮b)=k$, então o sistema tem solução. A matriz A de um sistema de Cramer é quadrada e tem o posto máximo possível. Isso significa que, se acrescentarmos a essa matriz qualquer outra coluna, essa coluna será necessariamente uma combinação linear das colunas da matriz A. Assim, ao acrescentar a coluna da matriz b, não aumentamos o posto da matriz A.

O teorema de Rouché-Capelli também diz que, para expressar a solução, precisamos de n − k parâmetros, em que n é o número de incógnitas e k é o posto da matriz ampliada, $\mathrm{posto}(A⋮b)$. Em um sistema de Cramer valerá n = k e, portanto, para expressar a solução precisaremos de zero parâmetros. Por isso, todo sistema de Cramer tem exatamente uma solução.

Em seguida, vamos representar por A_i a matriz A modificada de modo que, no lugar da i-ésima coluna, fique a coluna b. Formalmente, definimos a matriz A_i assim:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

em que a_ij são os elementos da matriz A e b_i são os elementos da matriz b.

Regra de Cramer

Seja Ax = b um sistema de Cramer de equações lineares. A regra de Cramer diz que esse sistema tem exatamente uma solução (x₁, x₂, …, x_n), em que

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Vamos mostrar a regra logo em um pequeno exemplo. Vamos resolver o seguinte sistema usando a regra de Cramer.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

A matriz dos coeficientes terá a forma:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

O determinante da matriz é igual a:

$$|A|=3-8=-5.$$

Em seguida, formamos as matrizes A₁ e A₂. Elas terão a forma:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Calculamos os determinantes dessas matrizes:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

E calculamos sucessivamente x₁ e x₂. Pela regra de Cramer, para o elemento x₁ vale a igualdade

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Substituindo, temos

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

O mesmo para o segundo elemento x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

A solução do sistema de equações é, portanto, o par (x₁, x₂) = (3, 1).

A regra de Cramer é adequada principalmente quando você quer transformar o procedimento em um algoritmo, pois é fácil de programar. Resolver um sistema à mão pela regra de Cramer costuma ser mais complicado do que resolvê-lo pela eliminação de Gauss.