Regula lui Cramer

Regula lui Cramer se folosește pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare în care matricea sistemului este inversabilă.

Sistem de tip Cramer

Fie un sistem de ecuații liniare Ax = b. Spunem că acest sistem este de tip Cramer dacă A este o matrice pătratică inversabilă (nesingulară). Aceasta înseamnă că determinantul acestei matrice este întotdeauna nenul și că matricea nu are nicio linie sau coloană liniar dependentă.

Conform teoremei Kronecker–Capelli, orice sistem de tip Cramer are exact o soluție. Teorema Kronecker–Capelli spune că, dacă rang A = rang (A|b) = k, atunci sistemul are soluții. Matricea A a unui sistem de tip Cramer este pătratică și are rangul maxim posibil. Aceasta înseamnă că, dacă adăugăm acestei matrice orice altă coloană, această coloană trebuie neapărat să fie o combinație liniară a coloanelor matricei A. Deci, adăugând coloana b, nu mărim rangul matricei A.

Teorema Kronecker–Capelli mai spune că, pentru a exprima soluția, avem nevoie de n − k parametri, unde n este numărul de necunoscute, iar k este rangul matricei rang (A|b). La un sistem de tip Cramer avem n = k, deci pentru a exprima soluția nu avem nevoie de niciun parametru. De aceea orice sistem de tip Cramer are exact o soluție (este compatibil determinat).

Notăm în continuare cu A_i matricea A modificată astfel încât în locul coloanei i să aibă coloana b. Formal, matricea A_i se definește astfel:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

unde a_ij sunt elementele matricei A, iar b_i sunt elementele matricei b.

Regula lui Cramer

Fie Ax = b un sistem de ecuații liniare de tip Cramer. Regula lui Cramer spune că acest sistem are exact o soluție (x₁, x₂, …, x_n), unde

$$x_i=\frac{det{A}_i}{detA}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Vom arăta imediat regula pe un exemplu mic. Rezolvăm următorul sistem cu ajutorul regulii lui Cramer.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

Matricea sistemului are forma:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Determinantul matricei este egal cu:

$$|A|=3-8=-5.$$

Formăm apoi matricele A₁ și A₂. Ele au forma:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Calculăm determinanții acestor matrice:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Apoi calculăm pe rând x₁ și x₂. Conform regulii lui Cramer, pentru x₁ avem egalitatea

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

După înlocuire obținem

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

La fel pentru a doua necunoscută, x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Soluția sistemului de ecuații este deci perechea (x₁, x₂) = (3, 1).

Regula lui Cramer este avantajoasă mai ales atunci când vrei să algoritmizezi procedeul, deoarece se programează ușor. A rezolva un sistem cu regula lui Cramer de mână este de obicei mai complicat decât a-l rezolva prin metoda lui Gauss.