Règle de Cramer

La règle de Cramer sert à résoudre un système d’équations linéaires dont la matrice est inversible.

Système de Cramer

Considérons un système d’équations linéaires Ax = b. On l’appelle système de Cramer si A est une matrice carrée inversible. Cela signifie que le déterminant de cette matrice est toujours non nul et que la matrice n’a aucune ligne ni colonne linéairement dépendante des autres.

D’après le théorème de Rouché-Fontené, tout système de Cramer a exactement une solution. Ce théorème dit que si rg(A) = rg(A|b) = k, alors le système a une solution. La matrice A d’un système de Cramer est carrée et son rang est le plus grand possible. Cela signifie que si l’on ajoute à cette matrice une colonne quelconque, celle-ci est nécessairement une combinaison linéaire des colonnes de A. Ainsi, en ajoutant la colonne b, on n’augmente pas le rang de la matrice A.

Le théorème de Rouché-Fontené dit aussi qu’il faut n − k paramètres pour exprimer la solution, où n est le nombre d’inconnues et k le rang de la matrice rg(A|b). Pour un système de Cramer, on a n = k, donc il faut zéro paramètre pour exprimer la solution. C’est pourquoi tout système de Cramer a exactement une solution.

Notons ensuite A_i la matrice A modifiée de sorte qu’à la place de la i-ième colonne se trouve la colonne b. Formellement, la matrice A_i se définit ainsi :

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

où a_ij sont les coefficients de la matrice A et b_i ceux de la matrice b.

Règle de Cramer

Soit Ax = b un système de Cramer d’équations linéaires. La règle de Cramer dit que ce système a exactement une solution (x₁, x₂, …, x_n), où

$$x_i=\frac{det{A}_i}{detA}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Montrons tout de suite la règle sur un petit exemple. Résolvons le système suivant à l’aide de la règle de Cramer.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

La matrice du système est :

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Son déterminant est égal à :

$$|A|=3-8=-5.$$

On forme ensuite les matrices A₁ et A₂ :

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Calculons les déterminants de ces matrices :

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Puis on calcule x₁ et x₂. D’après la règle de Cramer, pour x₁ on a l’égalité

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

En remplaçant, on obtient

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

De même pour la deuxième inconnue x₂ :

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

La solution du système d’équations est donc le couple (x₁ ; x₂) = (3 ; 1).

La règle de Cramer convient surtout quand on veut programmer la méthode : elle est facile à programmer. Résoudre un système à la main avec la règle de Cramer est en général plus compliqué que de le résoudre par la méthode du pivot de Gauss.