Cramers regel

Cramers regel bruges til at løse et lineært ligningssystem, hvor systemets matrix er regulær.

Cramers system

Lad Ax = b være et lineært ligningssystem. Vi kalder systemet et Cramers system, hvis A er en kvadratisk regulær matrix. Det betyder, at determinanten af denne matrix altid er forskellig fra nul, og at matricen derfor ikke har nogen lineært afhængige rækker eller søjler.

Ifølge Kronecker–Capellis sætning har ethvert Cramers system præcis én løsning. Sætningen siger, at hvis rank(A) = rank(A|b) = k, så har systemet en løsning. Matricen A i et Cramers system er kvadratisk og har størst mulig rang. Det betyder, at hvis vi tilføjer en vilkårlig søjle til denne matrix, så må den søjle nødvendigvis være en linearkombination af søjlerne i matricen A. Ved at tilføje søjlen fra matricen b øger vi altså ikke rangen af A.

Sætningen siger også, at vi skal bruge n − k parametre til at udtrykke løsningen, hvor n er antallet af variable, og k er rangen rank(A|b). I et Cramers system gælder n = k, så vi skal bruge nul parametre til at udtrykke løsningen. Derfor har ethvert Cramers system præcis én løsning.

Lad os desuden lade A_i betegne matricen A ændret sådan, at den i-te søjle er erstattet af søjlen b. Formelt definerer vi matricen A_i sådan:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

hvor a_ij er elementerne i matricen A, og b_i er elementerne i matricen b.

Cramers regel

Lad Ax = b være et Cramers system af lineære ligninger. Cramers regel siger, at systemet har præcis én løsning (x₁, x₂, …, x_n), hvor

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Vi viser straks reglen på et lille eksempel. Vi løser følgende system ved hjælp af Cramers regel.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

Systemets matrix får formen:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Matricens determinant er lig med:

$$|A|=3-8=-5.$$

Dernæst danner vi matricerne A₁ og A₂. De får formen:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Vi beregner determinanterne af disse matricer:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Og så beregner vi x₁ og x₂ efter tur. Ifølge Cramers regel gælder for elementet x₁ ligheden

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Når vi sætter ind, får vi

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Det samme for det andet element x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Systemets løsning er altså parret (x₁, x₂) = (3, 1).

Cramers regel er især velegnet, når du vil gøre fremgangsmåden til en algoritme, for den er nem at programmere. At løse et system med Cramers regel i hånden er som regel mere besværligt end at løse det med Gauss-elimination.