Cramers regel

Cramers regel brukes for å løse et system av lineære likninger der koeffisientmatrisen er regulær.

Cramer-system

La oss si at vi har et system av lineære likninger Ax = b. Dette systemet kaller vi et Cramer-system hvis A er en kvadratisk regulær matrise. Det betyr at determinanten til denne matrisen alltid er forskjellig fra null, og at matrisen dermed ikke har noen lineært avhengige rader eller kolonner.

Ifølge Rouché–Capellis setning har hvert Cramer-system nøyaktig én løsning. Rouché–Capellis setning sier at hvis rang(A) = rang(A|b) = k, så har systemet løsning. Matrisen A i et Cramer-system er kvadratisk og har den størst mulige rangen. Det betyr at hvis vi føyer en hvilken som helst ny kolonne til denne matrisen, må denne kolonnen nødvendigvis være en lineærkombinasjon av kolonnene i matrisen A. Ved å føye til kolonnen fra matrisen b øker vi altså ikke rangen til matrisen A.

Rouché–Capellis setning sier også at vi trenger n − k parametere for å uttrykke løsningen, der n er antall variabler og k er rangen til matrisen rang(A|b). For et Cramer-system gjelder n = k, og dermed trenger vi null parametere for å uttrykke løsningen. Derfor har hvert Cramer-system nøyaktig én løsning.

Videre lar vi A_i være matrisen A endret slik at den på den i-te kolonnens plass har kolonnen b. Formelt definerer vi matrisen A_i slik:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

der a_ij er elementene i matrisen A og b_i er elementene i matrisen b.

Cramers regel

La Ax = b være et Cramer-system av lineære likninger. Cramers regel sier at dette systemet har nøyaktig én løsning (x₁, x₂, …, x_n), der

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Vi viser regelen med en gang på et lite eksempel. Vi løser følgende system ved hjelp av Cramers regel.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

Matrisen til systemet får denne formen:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Determinanten til matrisen er lik:

$$|A|=3-8=-5.$$

Videre lager vi matrisene A₁ og A₂. De får denne formen:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Vi regner ut determinantene til disse matrisene:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Og etter tur regner vi ut x₁ og x₂. Ifølge Cramers regel gjelder likheten for elementet x₁

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Etter innsetting har vi

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Det samme for det andre elementet x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Løsningen av likningssettet er altså paret (x₁, x₂) = (3, 1).

Cramers regel passer først og fremst når du vil lage en algoritme av framgangsmåten, for den er lett å programmere. Å løse et likningssett for hånd med Cramers regel er vanligvis mer komplisert enn å løse det med Gauss' eliminasjonsmetode.