Regel van Cramer

De regel van Cramer gebruik je om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen waarvan de coëfficiëntenmatrix regulier is.

Cramerstelsel

We nemen een stelsel lineaire vergelijkingen Ax = b. Dit stelsel noemen we een cramerstelsel als A een vierkante reguliere matrix is. Dat betekent dat de determinant van deze matrix altijd ongelijk aan nul is en de matrix dus geen lineair afhankelijke rijen of kolommen heeft.

Volgens de stelling van Frobenius heeft elk cramerstelsel precies één oplossing. De stelling van Frobenius zegt dat als rang(A) = rang(A|b) = k, het stelsel een oplossing heeft. De matrix A van een cramerstelsel is vierkant en heeft de maximaal mogelijke rang. Dat betekent dat als we aan deze matrix een willekeurige extra kolom toevoegen, die kolom noodzakelijkerwijs een lineaire combinatie van de kolommen van de matrix A moet zijn. Door de kolom uit de matrix b toe te voegen verhogen we de rang van de matrix A dus niet.

De stelling van Frobenius zegt ook dat we n − k parameters nodig hebben om de oplossing uit te drukken, waarbij n het aantal variabelen is en k de rang van de matrix rang(A|b). Bij een cramerstelsel geldt n = k en dus hebben we nul parameters nodig om de oplossing uit te drukken. Daarom heeft elk cramerstelsel precies één oplossing.

Verder noemen we A_i de aangepaste matrix A die op de plaats van de i-de kolom de kolom b heeft. Formeel definiëren we de matrix A_i als volgt:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

waarbij a_ij de elementen van de matrix A zijn en b_i de elementen van de matrix b.

De regel van Cramer

Laat Ax = b een cramerstelsel van lineaire vergelijkingen zijn. De regel van Cramer zegt dat dit stelsel precies één oplossing (x₁, x₂, …, x_n) heeft, waarbij

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Dit laten we meteen zien met een klein voorbeeld. We lossen het volgende stelsel op met de regel van Cramer.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

De coëfficiëntenmatrix heeft de vorm:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

De determinant van de matrix is gelijk aan:

$$|A|=3-8=-5.$$

Verder maken we de matrices A₁ en A₂. Die hebben de vorm:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

We berekenen de determinanten van deze matrices:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

En we berekenen achtereenvolgens x₁ en x₂. Volgens de regel van Cramer geldt voor het element x₁ de gelijkheid

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Na invullen hebben we dus

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Hetzelfde voor het tweede element x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

De oplossing van het stelsel vergelijkingen is dus het paar (x₁, x₂) = (3, 1).

De regel van Cramer is vooral geschikt als je de werkwijze wilt algoritmiseren, hij is gemakkelijk te programmeren. Een stelsel met de regel van Cramer met de hand oplossen is meestal ingewikkelder dan het op te lossen met de eliminatiemethode van Gauss.