Правило на Крамер

Правилото на Крамер се използва за решаване на система линейни уравнения, в която матрицата на системата е неособена.

Крамерова система

Нека имаме система линейни уравнения Ax = b. Тази система наричаме крамерова, ако A е квадратна неособена матрица. Това означава, че детерминантата на тази матрица е винаги ненулева и матрицата няма никакви линейно зависими редове или стълбове.

Според теоремата на Фробениус всяка крамерова система има точно едно решение. Теоремата на Фробениус казва, че ако rank(A) = rank(A|b) = k, системата има решение. Матрицата A на крамеровата система е квадратна и има максимално възможния ранг. Това означава, че ако към тази матрица добавим който и да е друг стълб, този стълб непременно трябва да е линейна комбинация на стълбовете на матрицата A. Следователно с добавянето на стълба от матрицата b не увеличаваме ранга на матрицата A.

Теоремата на Фробениус казва още, че за изразяването на решението ни са нужни n − k параметъра, където n е броят на променливите, а k е рангът на матрицата rank(A|b). При крамеровата система е изпълнено n = k и затова за изразяването на решението ще са ни нужни нула параметъра. Затова всяка крамерова система има точно едно решение.

След това с A_i означаваме матрицата A, променена така, че на мястото на i-тия стълб да има стълба b. Формално матрицата A_i определяме така:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

където a_ij са елементите на матрицата A, а b_i са елементите на матрицата b.

Правило на Крамер

Нека Ax = b е крамерова система линейни уравнения. Правилото на Крамер казва, че тази система има точно едно решение (x₁, x₂, …, x_n), където

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Правилото ще покажем веднага на малък пример. Ще решим следната система с помощта на правилото на Крамер.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

Матрицата на системата ще има вида:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Детерминантата на матрицата е равна на:

$$|A|=3-8=-5.$$

След това образуваме матриците A₁ и A₂. Те ще имат вида:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Пресмятаме детерминантите на тези матрици:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

И последователно пресмятаме x₁ и x₂. Според правилото на Крамер за елемента x₁ е изпълнено равенството

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

След заместване имаме

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Същото за втория елемент x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Решение на системата уравнения е двойката (x₁; x₂) = (3; 1).

Правилото на Крамер е подходящо най-вече когато искаш да алгоритмизираш процедурата, лесно се програмира. Ръчното решаване на система с правилото на Крамер обикновено е по-сложно, отколкото решаването ѝ по метода на Гаус.