Cramersche Regel

Die cramersche Regel wird zum Lösen eines linearen Gleichungssystems verwendet, dessen Koeffizientenmatrix regulär ist.

Cramersches System

Betrachten wir ein lineares Gleichungssystem Ax = b. Dieses System nennen wir cramersch, wenn A eine quadratische reguläre Matrix ist. Das bedeutet, dass die Determinante dieser Matrix immer ungleich null ist und die Matrix somit keine linear abhängigen Zeilen oder Spalten hat.

Nach dem Satz von Kronecker-Capelli hat jedes cramersche System genau eine Lösung. Der Satz von Kronecker-Capelli besagt: Gilt Rang(A) = Rang(A|b) = k, dann hat das System eine Lösung. Die Matrix A eines cramerschen Systems ist quadratisch und hat den maximal möglichen Rang. Das bedeutet: Fügen wir zu dieser Matrix irgendeine weitere Spalte hinzu, muss diese Spalte zwangsläufig eine Linearkombination der Spalten der Matrix A sein. Durch das Anfügen der Spalte aus der Matrix b erhöhen wir also den Rang der Matrix A nicht.

Der Satz von Kronecker-Capelli besagt außerdem, dass wir zur Angabe der Lösung n − k Parameter brauchen, wobei n die Anzahl der Variablen und k der Rang der Matrix Rang(A|b) ist. Bei einem cramerschen System gilt n = k, also brauchen wir zur Angabe der Lösung null Parameter. Deshalb hat jedes cramersche System genau eine Lösung.

Weiter bezeichnen wir mit A_i die so veränderte Matrix A, dass anstelle der i-ten Spalte die Spalte b steht. Formal definieren wir die Matrix A_i so:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

wobei a_ij die Elemente der Matrix A und b_i die Elemente der Matrix b sind.

Cramersche Regel

Sei Ax = b ein cramersches lineares Gleichungssystem. Die cramersche Regel besagt, dass dieses System genau eine Lösung (x₁, x₂, …, x_n) hat, wobei

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Die Regel zeigen wir gleich an einem kleinen Beispiel. Wir lösen das folgende System mithilfe der cramerschen Regel.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

Die Koeffizientenmatrix hat die Form:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Die Determinante der Matrix ist gleich:

$$|A|=3-8=-5.$$

Als Nächstes bilden wir die Matrizen A₁ und A₂. Sie haben die Form:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Wir berechnen die Determinanten dieser Matrizen:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Nun berechnen wir nacheinander x₁ und x₂. Nach der cramerschen Regel gilt für das Element x₁ die Gleichung

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Nach dem Einsetzen erhalten wir also

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Dasselbe für das zweite Element x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Die Lösung des Gleichungssystems ist also das Paar (x₁, x₂) = (3, 1).

Die cramersche Regel eignet sich vor allem dann, wenn du das Vorgehen algorithmisch umsetzen willst – sie lässt sich leicht programmieren. Ein System mit der cramerschen Regel von Hand zu lösen ist meist aufwendiger, als es mit dem gaußschen Eliminationsverfahren zu lösen.