Cramer-szabály

A Cramer-szabályt olyan lineáris egyenletrendszerek megoldására használjuk, amelyekben a rendszer mátrixa reguláris.

Cramer-rendszer

Legyen adott az Ax = b lineáris egyenletrendszer. Ezt a rendszert Cramer-rendszernek nevezzük, ha az A négyzetes reguláris mátrix. Ez azt jelenti, hogy ennek a mátrixnak a determinánsa sosem nulla, és a mátrixnak nincsenek lineárisan összefüggő sorai vagy oszlopai.

A Kronecker–Capelli-tétel szerint minden Cramer-rendszernek pontosan egy megoldása van. A tétel azt mondja ki, hogy ha rang(A) = rang(A|b) = k, akkor a rendszernek van megoldása. A Cramer-rendszer A mátrixa négyzetes, és a lehető legnagyobb a rangja. Ez azt jelenti, hogy ha ehhez a mátrixhoz bármilyen további oszlopot hozzáírunk, az az oszlop szükségszerűen az A mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. Tehát a b oszlop hozzáírásával nem növeljük meg az A mátrix rangját.

A Kronecker–Capelli-tétel azt is kimondja, hogy a megoldás felírásához n − k paraméterre van szükségünk, ahol n a változók száma, k pedig a mátrix rangja, rang(A|b). Cramer-rendszerben n = k, így a megoldás felírásához nulla paraméterre van szükségünk. Ezért minden Cramer-rendszernek pontosan egy megoldása van.

Jelölje A_i azt az A-ból kapott mátrixot, amelyben az i-edik oszlop helyén a b oszlop áll. Formálisan az A_i mátrixot így definiáljuk:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

ahol a_ij az A mátrix elemei, b_i pedig a b mátrix elemei.

Cramer-szabály

Legyen Ax = b egy Cramer-rendszer. A Cramer-szabály szerint ennek a rendszernek pontosan egy megoldása van, (x₁; x₂; …; x_n), ahol

$$x_i=\frac{\det A_i}{\det A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

A szabályt rögtön megmutatjuk egy kis példán. Oldjuk meg a következő rendszert a Cramer-szabállyal.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

A rendszer mátrixa:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

A mátrix determinánsa:

$$|A|=3-8=-5.$$

Ezután elkészítjük az A₁ és A₂ mátrixot. Ezek így néznek ki:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Kiszámítjuk ezeknek a mátrixoknak a determinánsát:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Most egymás után kiszámítjuk x₁ és x₂ értékét. A Cramer-szabály szerint az x₁ elemre igaz az egyenlőség

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Behelyettesítve tehát

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Ugyanígy a második elemre (x₂):

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Az egyenletrendszer megoldása tehát az (x₁; x₂) = (3; 1) számpár.

A Cramer-szabály főleg akkor hasznos, ha az eljárást algoritmizálni szeretnéd, mert könnyű programozni. Kézzel egy egyenletrendszert a Cramer-szabállyal megoldani általában bonyolultabb, mint a Gauss-eliminációval.