Cramerin sääntö

Cramerin sääntöä käytetään sellaisten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen, joissa kerroinmatriisi on säännöllinen.

Cramerin yhtälöryhmä

Olkoon annettuna lineaarinen yhtälöryhmä Ax = b. Tätä ryhmää sanotaan Cramerin yhtälöryhmäksi, jos A on säännöllinen neliömatriisi. Se tarkoittaa, että tämän matriisin determinantti on aina nollasta poikkeava, eikä matriisissa ole lineaarisesti riippuvia rivejä eikä sarakkeita.

Kronecker–Capellin lauseen mukaan jokaisella Cramerin yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu. Kronecker–Capellin lause sanoo, että jos rank(A) = rank(A|b) = k, ryhmällä on ratkaisu. Cramerin yhtälöryhmän matriisi A on neliömatriisi, ja sillä on suurin mahdollinen aste. Se tarkoittaa, että kun tähän matriisiin lisätään mikä tahansa uusi sarake, sen täytyy välttämättä olla matriisin A sarakkeiden lineaarikombinaatio. Sarakkeen b lisääminen ei siis kasvata matriisin A astetta.

Kronecker–Capellin lause sanoo myös, että ratkaisun ilmaisemiseen tarvitaan n − k parametria, missä n on muuttujien lukumäärä ja k on aste rank(A|b). Cramerin yhtälöryhmässä pätee n = k, joten ratkaisun ilmaisemiseen tarvitaan nolla parametria. Siksi jokaisella Cramerin yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu.

Merkitään lisäksi A_i:llä matriisia A muunnettuna niin, että sen i:nnen sarakkeen paikalla on sarake b. Muodollisesti matriisi A_i määritellään näin:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

missä a_ij ovat matriisin A alkioita ja b_i matriisin b alkioita.

Cramerin sääntö

Olkoon Ax = b Cramerin lineaarinen yhtälöryhmä. Cramerin säännön mukaan tällä ryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu (x₁, x₂, …, x_n), missä

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Havainnollistetaan sääntöä heti pienellä esimerkillä. Ratkaistaan seuraava yhtälöryhmä Cramerin säännöllä.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

Ryhmän kerroinmatriisi on muotoa:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Matriisin determinantti on:

$$|A|=3-8=-5.$$

Muodostetaan seuraavaksi matriisit A₁ ja A₂. Ne ovat muotoa:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Lasketaan näiden matriisien determinantit:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Lasketaan sitten vuorotellen x₁ ja x₂. Cramerin säännön mukaan muuttujalle x₁ pätee yhtälö

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Sijoittamalla saadaan

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Samoin toiselle muuttujalle x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Yhtälöryhmän ratkaisu on siis pari (x₁, x₂) = (3, 1).

Cramerin sääntö sopii erityisesti silloin, kun menetelmä halutaan muuttaa algoritmiksi: se on helppo ohjelmoida. Yhtälöryhmän ratkaiseminen käsin Cramerin säännöllä on yleensä hankalampaa kuin sen ratkaiseminen Gaussin eliminoinnilla.