Cramers regel

Cramers regel används för att lösa ett linjärt ekvationssystem där koefficientmatrisen är regulär.

Cramersystem

Låt oss ta ett linjärt ekvationssystem Ax = b. Vi kallar systemet ett Cramersystem om A är en kvadratisk regulär matris. Det betyder att matrisens determinant alltid är skild från noll och att matrisen inte har några linjärt beroende rader eller kolumner.

Enligt Kronecker–Capellis sats har varje Cramersystem exakt en lösning. Satsen säger att om rang(A) = rang(A ∣ b) = k, så har systemet en lösning. Matrisen A i ett Cramersystem är kvadratisk och har största möjliga rang. Det betyder att om vi lägger till vilken kolumn som helst till matrisen, så måste den kolumnen nödvändigtvis vara en linjärkombination av kolumnerna i A. När vi lägger till kolumnen b ökar därför inte rangen hos A.

Satsen säger också att vi behöver n − k parametrar för att uttrycka lösningen, där n är antalet variabler och k är rangen rang(A ∣ b). För ett Cramersystem gäller n = k, så vi behöver noll parametrar för att uttrycka lösningen. Därför har varje Cramersystem exakt en lösning.

Låt oss vidare låta A_i beteckna matrisen A där den i:te kolumnen har ersatts med kolumnen b. Formellt definierar vi matrisen A_i så här:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

där a_ij är elementen i matrisen A och b_i är elementen i matrisen b.

Cramers regel

Låt Ax = b vara ett linjärt ekvationssystem som är ett Cramersystem. Cramers regel säger att systemet har exakt en lösning (x₁, x₂, …, x_n), där

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Vi visar regeln direkt på ett litet exempel. Vi löser följande system med hjälp av Cramers regel.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

Systemets matris blir:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Matrisens determinant är:

$$|A|=3-8=-5.$$

Sedan bildar vi matriserna A₁ och A₂. De ser ut så här:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Vi beräknar determinanterna för de här matriserna:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Därefter beräknar vi x₁ och x₂ i tur och ordning. Enligt Cramers regel gäller för x₁ likheten

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Efter insättning får vi

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Samma sak för den andra variabeln x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Systemets lösning är alltså paret (x₁, x₂) = (3, 1).

Cramers regel passar framför allt när du vill göra metoden till en algoritm, för den är lätt att programmera. Att lösa ett system för hand med Cramers regel brukar vara besvärligare än att lösa det med Gausselimination.