Κανόνας του Cramer

Ο κανόνας του Cramer χρησιμοποιείται για την επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων, όταν ο πίνακας του συστήματος είναι αντιστρέψιμος.

Σύστημα Cramer

Έστω ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων Ax = b. Το σύστημα αυτό το ονομάζουμε σύστημα Cramer, αν ο A είναι τετραγωνικός αντιστρέψιμος πίνακας. Αυτό σημαίνει ότι η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι πάντα μη μηδενική και ο πίνακας δεν έχει γραμμικά εξαρτημένες γραμμές ή στήλες.

Σύμφωνα με το θεώρημα Rouché–Capelli (Frobenius) κάθε σύστημα Cramer έχει ακριβώς μία λύση. Το θεώρημα λέει ότι αν rank(A) = rank(A|b) = k, τότε το σύστημα έχει λύση. Ο πίνακας A ενός συστήματος Cramer είναι τετραγωνικός και έχει τη μέγιστη δυνατή τάξη. Αυτό σημαίνει ότι αν στον πίνακα προσθέσουμε οποιαδήποτε άλλη στήλη, η στήλη αυτή είναι αναγκαστικά γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα A. Άρα προσθέτοντας τη στήλη του πίνακα b δεν αυξάνουμε την τάξη του πίνακα A.

Το θεώρημα λέει επίσης ότι για να εκφράσουμε τη λύση χρειαζόμαστε n − k παραμέτρους, όπου n είναι το πλήθος των μεταβλητών και k είναι η τάξη του πίνακα rank(A|b). Σε ένα σύστημα Cramer θα ισχύει n = k, και έτσι για την έκφραση της λύσης θα χρειαζόμαστε μηδέν παραμέτρους. Γι' αυτό κάθε σύστημα Cramer έχει ακριβώς μία λύση.

Στη συνέχεια συμβολίζουμε με A_i τον πίνακα A τροποποιημένο έτσι, ώστε στη θέση της i-οστής στήλης να έχει τη στήλη b. Τυπικά τον πίνακα A_i ορίζουμε ως εξής:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

όπου a_ij είναι τα στοιχεία του πίνακα A και b_i τα στοιχεία του πίνακα b.

Κανόνας του Cramer

Έστω Ax = b ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων τύπου Cramer. Ο κανόνας του Cramer λέει ότι το σύστημα αυτό έχει ακριβώς μία λύση (x₁, x₂, …, x_n), όπου

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Τον κανόνα θα τον δείξουμε αμέσως σε ένα μικρό παράδειγμα. Θα λύσουμε το παρακάτω σύστημα με τον κανόνα του Cramer.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

Ο πίνακας του συστήματος έχει τη μορφή:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Η ορίζουσα του πίνακα ισούται με:

$$|A|=3-8=-5.$$

Στη συνέχεια φτιάχνουμε τους πίνακες A₁ και A₂. Αυτοί έχουν τη μορφή:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Υπολογίζουμε τις ορίζουσες αυτών των πινάκων:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Και υπολογίζουμε διαδοχικά τα x₁ και x₂. Σύμφωνα με τον κανόνα του Cramer, για το στοιχείο x₁ θα ισχύει η ισότητα

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Μετά την αντικατάσταση έχουμε

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Το ίδιο για το δεύτερο στοιχείο x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Λύση του συστήματος εξισώσεων είναι λοιπόν το ζεύγος (x₁, x₂) = (3, 1).

Ο κανόνας του Cramer είναι κατάλληλος κυρίως όταν θέλεις να αλγοριθμοποιήσεις τη διαδικασία, γιατί προγραμματίζεται εύκολα. Η επίλυση ενός συστήματος με τον κανόνα του Cramer με το χέρι είναι συνήθως πιο περίπλοκη από την επίλυσή του με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss.