Regola di Cramer

La regola di Cramer si usa per risolvere un sistema di equazioni lineari in cui la matrice dei coefficienti è invertibile.

Sistema di Cramer

Consideriamo un sistema di equazioni lineari Ax = b. Questo sistema si dice di Cramer se A è una matrice quadrata invertibile. Questo significa che il determinante di questa matrice è sempre diverso da zero e che la matrice non ha righe o colonne linearmente dipendenti.

Secondo il teorema di Rouché-Capelli ogni sistema di Cramer ha una sola soluzione. Il teorema di Rouché-Capelli afferma che, se rk(A) = rk(A ∣ b) = k, il sistema ha soluzioni. La matrice A di un sistema di Cramer è quadrata e ha il rango massimo possibile. Questo significa che, se a questa matrice aggiungiamo una qualsiasi altra colonna, questa colonna è necessariamente una combinazione lineare delle colonne della matrice A. Quindi aggiungendo la colonna della matrice b non aumentiamo il rango della matrice A.

Il teorema di Rouché-Capelli dice anche che per esprimere la soluzione servono n − k parametri, dove n è il numero delle incognite e k è il rango rk(A ∣ b). In un sistema di Cramer vale n = k, quindi per esprimere la soluzione servono zero parametri. Per questo ogni sistema di Cramer ha una sola soluzione.

Indichiamo poi con A_i la matrice A modificata in modo che al posto della i-esima colonna ci sia la colonna b. Formalmente la matrice A_i si definisce così:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

dove a_ij sono gli elementi della matrice A e b_i gli elementi della matrice b.

Regola di Cramer

Sia Ax = b un sistema di Cramer di equazioni lineari. La regola di Cramer afferma che questo sistema ha una sola soluzione (x₁; x₂; …; x_n), dove

$$x_i=\frac{det{A}_i}{detA}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Vediamo subito la regola su un piccolo esempio. Risolviamo il seguente sistema con la regola di Cramer.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

La matrice dei coefficienti ha la forma:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Il determinante della matrice è:

$$|A|=3-8=-5.$$

Costruiamo poi le matrici A₁ e A₂. Hanno la forma:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Calcoliamo i determinanti di queste matrici:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Calcoliamo poi uno alla volta x₁ e x₂. Secondo la regola di Cramer, per l’elemento x₁ vale l’uguaglianza

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Sostituendo otteniamo

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Allo stesso modo per il secondo elemento x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

La soluzione del sistema è quindi la coppia (x₁; x₂) = (3; 1).

La regola di Cramer è utile soprattutto quando vuoi tradurre il procedimento in un algoritmo: si programma facilmente. Risolvere un sistema a mano con la regola di Cramer è di solito più laborioso che risolverlo con il metodo di eliminazione di Gauss.