Regla de Cramer

La regla de Cramer se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales en los que la matriz de coeficientes es regular.

Sistema de Cramer

Sea Ax = b un sistema de ecuaciones lineales. Diremos que este sistema es de Cramer si A es una matriz cuadrada regular. Eso significa que el determinante de esta matriz es siempre distinto de cero y que la matriz no tiene filas ni columnas linealmente dependientes.

Según el teorema de Rouché-Frobenius, todo sistema de Cramer tiene exactamente una solución. El teorema de Rouché-Frobenius dice que, si rg(A) = rg(A ∣ b) = k, entonces el sistema tiene solución. La matriz A de un sistema de Cramer es cuadrada y tiene el rango máximo posible. Eso significa que, si a esta matriz le añadimos cualquier otra columna, esa columna tiene que ser necesariamente combinación lineal de las columnas de la matriz A. Así que, al añadir la columna de la matriz b, no aumentamos el rango de la matriz A.

El teorema de Rouché-Frobenius dice también que para expresar la solución necesitamos n − k parámetros, donde n es el número de incógnitas y k es el rango de la matriz rg(A ∣ b). En un sistema de Cramer se cumplirá n = k y, por tanto, para expresar la solución necesitaremos cero parámetros. Por eso todo sistema de Cramer tiene exactamente una solución.

Denotemos ahora por A_i la matriz A modificada de modo que en el lugar de la columna i-ésima tiene la columna b. Formalmente, la matriz A_i se define así:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

donde a_ij son los elementos de la matriz A y b_i los elementos de la matriz b.

Regla de Cramer

Sea Ax = b un sistema de Cramer de ecuaciones lineales. La regla de Cramer dice que este sistema tiene exactamente una solución (x₁, x₂, …, x_n), donde

$$x_i=\frac{det{A}_i}{detA}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Vamos a ver enseguida la regla con un pequeño ejemplo. Resolvemos el siguiente sistema mediante la regla de Cramer.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

La matriz de coeficientes tendrá la forma:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

El determinante de la matriz es igual a:

$$|A|=3-8=-5.$$

A continuación formamos las matrices A₁ y A₂. Tendrán la forma:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Calculamos los determinantes de estas matrices:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Y calculamos sucesivamente x₁ y x₂. Según la regla de Cramer, para el elemento x₁ se cumple la igualdad

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Al sustituir, tenemos

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Lo mismo para el segundo elemento x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

La solución del sistema de ecuaciones es, pues, el par (x₁, x₂) = (3, 1).

La regla de Cramer es adecuada sobre todo cuando quieres convertir el procedimiento en un algoritmo, porque se programa fácilmente. Resolver un sistema a mano con la regla de Cramer suele ser más complicado que resolverlo con el método de Gauss.