平行な2直線の距離

平面上の平行な2直線の間には、距離を定義できます。

問題

平行な2直線 p: −x +3y − 16 = 0 と q: −x + 3y − 4 = 0 があります。この2直線の距離はどう求めればよいでしょうか。

このような2直線の距離は、点と直線の距離に簡単に置きかえられます。一方の直線上に点を1つ選び、その点ともう一方の直線の距離を計算すればよいのです。

直線 q 上の点として、たとえば点 A(8, 4) を選びます。直線 q の方程式に代入して、本当にこの直線上の点であることを確かめます。

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

あとは、先ほど述べた点 A と直線 p の距離を計算するだけです。そのための公式があります。

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

値を代入するだけです。

$$\begin{array}{rcl}d(A,p)& =& \frac{|a\cdot a_1+b\cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\fallingdotseq 3.795\end{array}$$