点と直線の距離

点と直線の距離は、その点から直線に引いた「いちばん短い」線分の長さに等しくなります。

問題

直線 p と、この直線上にない点 A があります。点 A と直線 p の距離を求めたいとします。例として、一般形 p: −x + 2y − 12 = 0 で表される直線と、点 A(6, 4) を考えます。

点 A と直線 p

点と直線の距離は線分 AB の長さに等しくなります。ここで、直線 AB は直線 p に垂直で、点 B は直線 p 上にあります。直線 AB を q とします。

公式を使う方法

導き方を考えたり、「面倒な」計算をしたりしたくなければ、公式を覚えておくだけで十分です。点 A(a₁, a₂) と、一般形 p: ax + by + c = 0 で表される直線 p の距離は、次のようになります。

$d (A, p) = \frac{| a \cdot a_{1} + b \cdot a_{2} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

この公式を前の例にあてはめます。代入すると次のようになります。

$\begin{array}{rcl} d (A, p) & = & \frac{| - 1 \cdot 6 + 2 \cdot 4 - 12 |}{\sqrt{(- 1)^{2} + 2^{2}}} \\ = & \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ = & \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{5} = 2 \cdot \sqrt{5} \\ ≒ & 4.4721 \end{array}$

交点の座標を求める方法

別の方法として、点 B の座標を計算することもできます。点 B がわかれば、線分 AB の長さはベクトルの大きさや三平方の定理で簡単に計算できます。そのためには、直線 q の方程式を使います。直線 p の一般形から、直線 p の法線ベクトル $\vec{n} = (- 1, 2)$ がすぐにわかります。直線 p と q は垂直なので、ベクトル $\vec{n}$ に垂直なベクトル $\vec{m}$ をとれば、このベクトル $\vec{m}$ は直線 q の法線ベクトルになります。

そのような垂直なベクトルとして、たとえばベクトル $\vec{m} = (2, 1)$ があります（内積を計算すれば確かめられます）。したがって、直線 q の一般形は次のようになります。

$q : 2 x + y + c = 0$

係数 c は、x と y に直線 q 上にあることがわかっている点の座標を代入して求めます。ここでは点 A(6, 4) です。次のようになります。

$\begin{array}{rcl} 2 x + y + c & = & 0 \\ 2 \cdot 6 + 4 + c & = & 0 \\ c & = & - 16 \end{array}$

直線 q の一般形は次のとおりです。

$q : 2 x + y - 16 = 0$

次に、2直線の交点を求めます。交点は、2直線の方程式を連立方程式として解けば求められます。

$\begin{array}{rcl} - x + 2 y - 12 & = & 0 \\ 2 x + y - 16 & = & 0 \end{array}$

1つ目の方程式の両辺に 2 をかけ、2つ目の方程式はそのままにします。

$\begin{array}{rcl} - 2 x + 4 y - 24 & = & 0 \\ 2 x + y - 16 & = & 0 \end{array}$

2つの方程式を足します。

$\begin{array}{rcl} - 2 x + 4 y - 24 + (2 x + y - 16) & = & 0 \\ 4 y + y - 24 - 16 & = & 0 \\ 5 y & = & 40 \\ y & = & 8 \end{array}$

点 B の y 座標は y = 8 です。この値をどちらかの方程式、たとえば −x + 2y − 12 = 0 に代入します。

$\begin{array}{rcl} - x + 2 y - 12 & = & 0 \\ - x + 2 \cdot 8 - 12 & = & 0 \\ - x + 4 & = & 0 \\ x & = & 4 \end{array}$

点 B の座標は B(4, 8) です。これで2点の座標がわかりました。あとは線分の長さを計算するだけです。線分 AB からベクトル $\vec{A B}$ をつくり、その大きさを計算すればよいのです。

$\vec{A B} = B - A = (4, 8) - (6, 4) = (- 2, 4)$

ベクトル (−2, 4) の大きさは次のようになります。

$| \vec{A B} | = \sqrt{(- 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot \sqrt{5} ≒ 4.4721$

章: 点と直線の距離, 点と平面の距離, 平行な2直線の距離

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