Απόσταση παράλληλων ευθειών

Ανάμεσα σε δύο παράλληλες ευθείες στο επίπεδο μπορούμε να ορίσουμε απόσταση.

Εκφώνηση

Έχουμε δύο παράλληλες ευθείες, p: −x +3y − 16 = 0 και q: −x + 3y − 4 = 0. Πώς βρίσκουμε την απόσταση αυτών των δύο ευθειών;

Την απόσταση τέτοιων ευθειών μπορούμε εύκολα να την ανάγουμε στην απόσταση σημείου από ευθεία. Αρκεί να διαλέξουμε ένα σημείο σε μία από τις ευθείες και μετά να υπολογίσουμε την απόσταση αυτού του σημείου από την άλλη ευθεία.

Στην ευθεία q μπορούμε να διαλέξουμε το σημείο A(8, 4). Με αντικατάσταση στην εξίσωση της ευθείας q επαληθεύουμε ότι πράγματι είναι σημείο αυτής της ευθείας:

$$\begin{array}{rcl}-x+3y-4& =& 0\\ -8+3\cdot 4-4& =& 0\\ -8+12-4& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

Τώρα υπολογίζουμε την προαναφερθείσα απόσταση του σημείου A από την ευθεία p. Γι᾽ αυτό έχουμε τον τύπο

$$\begin{array}{rcl}d(M_0,\epsilon )& =& \frac{|A{x}_0+B{y}_0+\mathrm{\Gamma }|}{\sqrt{A^2+B^2}}\end{array}$$

Απλώς αντικαθιστούμε:

$$\begin{array}{rcl}d(M_0,\epsilon )& =& \frac{|A{x}_0+B{y}_0+\mathrm{\Gamma }|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\ d(A,p)& =& \frac{|-1\cdot 8+3\cdot 4-16|}{\sqrt{(-1{)}^2+3^2}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{3,795}\end{array}$$