円の方程式

円は、平面上で、中心 O からの距離が一定の値 r である点全体の集まりです。円の方程式は、これと同じことを座標で書いたものです。点 X(x, y) が円周上にあるのは、中心 O(a, b) からの距離がちょうど r のとき、かつそのときに限ります。そして、2点間の距離は三平方の定理で計算できます。

中心 O と点 X を結び、水平な辺と垂直な辺をかき加えると、直角三角形ができます。水平な辺の長さは x − a、垂直な辺の長さは y − b で、斜辺は半径 r です。したがって、三平方の定理から次の式が成り立ちます。

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2.$$

点 X が中心より左や下にあると、差 x − a や y − b は負になります。しかし、2乗は決して負にならないので問題ありません。ベクトルの大きさを知っていれば、同じ式だと気づくでしょう。左辺はベクトル $\overrightarrow{OX}$ の大きさの2乗です。

この方程式を満たすのは、円周上のすべての点の座標であり、それ以外の点の座標は満たしません。円の内部にある点は中心からの距離が r より小さいので、左辺の値は r² より小さくなります。円の外部にある点では逆になります。

中心と半径がわかる形

次の方程式

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

を、中心 O(a, b)、半径 r の円の方程式（円の方程式の基本形）といいます。中心 O(a, b) も半径 r もすぐに読み取れるので、いちばん便利な形です。

中心 O(2, −1)、半径 r = 3 の円の方程式をつくってみましょう。a = 2、b = −1、r = 3 を代入します。

$$(x-2{)}^2+(y-(-1){)}^2=3^2$$

マイナス1を引くことはプラス1を足すことと同じで、3の2乗は9です。

$$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$$

いちばん間違いが多いのはここです。中心 O(2, −1) の座標は、方程式では符号が逆になって現れます。2は −2 として、マイナス1は +1 として出てきます。(x + 2)² + (y − 1)² = 9 と書くと、中心が (−2, 1) の、まったく別の場所にある円になってしまいます。読み取るときにも同じ落とし穴があります。方程式 (x + 5)² + (y − 3)² = 16 から読み取れる中心は O(−5, 3) で、(5, −3) ではありません。そして3つ目の落とし穴は、右辺が r ではなく r² だということです。この円の半径は16ではなく $\sqrt{16}=4$ です。

いちばん簡単なのは、中心が原点 (0, 0) の円です。2つのかっこが簡単になり、方程式 x² + y² = r² が残ります。

直径が与えられた円

問題では、中心や半径が直接与えられないこともよくあります。たとえば、A(−1, 2) と B(5, −6) を結ぶ線分 AB を直径とする円を求めるとします。

円の中心は直径のちょうど真ん中にあるので、線分 AB の中点でもあります。その座標は、点 A と B の座標の平均として求められます。

$$O=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(\frac{4}{2},\frac{-4}{2})=(2,-2)$$

半径は直径の半分なので、まず線分 AB の長さを計算します。座標の差は 5 − (−1) = 6 と −6 − 2 = −8 です。三平方の定理を使います。

$$|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

直径は10なので、半径は r = 5 です。半径に長さ |AB| をそのまま代入するのは間違いで、そうすると円の大きさが2倍になってしまいます。中心と半径がわかる形に代入します。

$$(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=25$$

点 A を代入して確かめます。(−1 − 2)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25 です。合っているので、点 A は円周上にあります。

一般形

中心と半径がわかる形のかっこを展開すると、円の方程式の一般形が得られます。最初の円 (x − 2)² + (y + 1)² = 9 から始めて、公式 (a − b)² = a² − 2ab + b² と (a + b)² = a² + 2ab + b² で2つのかっこを展開します。

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =& 9\\ x^2-4x+4+y^2+2y+1& =& 9\end{array}$$

項を並べかえ、右辺が0になるように9を左辺に移項します。

$$x^2+y^2-4x+2y+4+1-9=0$$

定数項をまとめます。

$$x^2+y^2-4x+2y-4=0$$

書き方が違うだけで、同じ円です。一般形は x² + y² + lx + my + n = 0 と書きます。x² と y² の係数が等しく、x · y の項がないことに注目しましょう。ふつうはこれで円だと見分けられますが、確実なのは中心と半径がわかる形に戻したときです。方程式 x² + 4y² = 4 は円ではなく、楕円を表します。

一般形からは、中心も半径もひと目では読み取れません。そのため、中心と半径がわかる形に戻せるようにしておく必要があります。

一般形から元に戻す

方程式 x² + y² + 6x − 8y = 0 があり、中心と半径を求めたいとします。平方完成を x と y について別々に使います。まず、変数ごとに項をまとめます。

$$(x^2+6x)+(y^2-8y)=0$$

6の半分は3ですが、(x + 3)² = x² + 6x + 9 なので、余分に9を足したことになり、これを引かなければなりません。したがって x² + 6x = (x + 3)² − 9 です。マイナス8の半分はマイナス4なので、y² − 8y = (y − 4)² − 16 です。代入します。

$$(x+3{)}^2-9+(y-4{)}^2-16=0$$

定数項を右辺に移項します。

$$(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$

これで、中心と半径がわかる形になりました。符号に注意すると、中心は O(−3, 4)、半径は $r=\sqrt{25}=5$ です。元の方程式には定数項がなかったので、点 (0, 0) が方程式を満たし、円は原点を通ります。確かめると、(0 + 3)² + (0 − 4)² = 9 + 16 = 25 となり、そのとおりです。

平方完成をして右辺が負の数になったら、それは円ではありません。2つの2乗の和が負になることはないからです。右辺が0なら、方程式を満たすのは中心の1点だけです。

点は円周上にあるか

点の座標を、中心と半径がわかる形の左辺に代入し、結果を r² と比べます。点 A(1, 2) と最初の円 (x − 2)² + (y + 1)² = 9 で調べてみましょう。

$$(1-2{)}^2+(2+1{)}^2=1+9=10$$

結果は 10 で、9 より大きくなりました。したがって、点 A は中心から半径より遠くにあり、円の外部にあります。ちょうど 9 なら円周上に、それより小さければ円の内部にあります。